Normal integral basis of an unramified quadratic extension over a cyclotomic ${\mathbb{Z}}_2$-extension

Ichimura, Humio¹ ; Sumida-Takahashi, Hiroki²

¹ Faculty of Science Ibaraki University Bunkyo 2-1-1, Mito, 310-8512, Japan
² Faculty of Engineering Tokushima University 2-1 Minami-josanjima-cho, Tokushima, 770-8506, Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 2, pp. 325-345

Abstract (VO)

Let $\ell$ be an odd prime number. Let $K/\mathbb{Q}$ be a real cyclic extension of degree $\ell$, $A_K$ the $2$-part of the ideal class group of $K$, and $H/K$ the class field corresponding to $A_K/A_K^2$. Let $K_n$ be the $n$th layer of the cyclotomic ${\mathbb{Z}}_2$-extension over $K$. We consider the questions (Q1) “does $H/K$ has a normal integral basis?”, and (Q2) “if not, does the pushed-up extension $H{K}_n/K_n$ has a normal integral basis for some $n\ge 1$?” Under some assumptions on $\ell$ and $K$, we answer these questions in terms of the $2$-adic $L$-function associated to the base field $K$. We also give some numerical examples.

Résumé

Soit $\ell$ un nombre premier impair. Soient $K/\mathbb{Q}$ une extension cyclique réelle de degré $\ell$, $A_K$ la $2$-partie du groupe des classes d’idéaux de $K$, et $H/K$ le corps des classes correspondant à $A_K/A_K^2$. Soit $K_n$ la $n$-ème couche de la ${\mathbb{Z}}_2$-extension cyclotomique sur $K$. Nous considérons les questions (Q1) “existe-il une base intégrale normale pour $H/K$ ?” et (Q2) “sinon, l’extension induite $H{K}_n/K_n$ a-t-elle une base intégrale normale pour un certain $n\ge 1$ ?” Sous quelques hypothèses sur $\ell$ et $K$, nous répondrons à ces questions en termes de la fonction $L$ $2$-adique associée au corps $K$ de base. De plus, nous donnons quelques exemples numériques.

Détail

Reçu le : 2014-02-28
Révisé le : 2014-12-20
Accepté le : 2015-02-17
Publié le : 2017-01-03
DOI : 10.5802/jtnb.942

Classification : 11R33, 11R23
Keywords: Normal integral basis, unramified quadratic extension, cyclotomic $\mathbb{Z}_2$-extension.