Algebraic independence of the generating functions of Stern’s sequence and of its twist

Bundschuh, Peter¹  ; Väänänen, Keijo²

¹ Mathematisches Institut Universität zu Köln Weyertal 86-90 50931 Köln, Germany
² Department of Mathematical Sciences University of Oulu P. O. Box 3000 90014 Oulu, Finland

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 1, pp. 43-57

Abstract (VO)

Very recently, the generating function $A\left(z\right)$ of the Stern sequence ${\left(a_n\right)}_{n\ge 0}$, defined by $a_0:=0,a_1:=1,$ and $a_{2n}:=a_n,a_{2n+1}:=a_n+a_{n+1}$ for any integer $n>0$, has been considered from the arithmetical point of view. Coons [8] proved the transcendence of $A\left(\alpha \right)$ for every algebraic $\alpha$ with $0<\left|\alpha \right|<1$, and this result was generalized in [6] to the effect that, for the same $\alpha$’s, all numbers $A\left(\alpha \right),A^{\prime }\left(\alpha \right),A^{\prime \prime }\left(\alpha \right),...$ are algebraically independent. At about the same time, Bacher [4] studied the twisted version $\left(b_n\right)$ of Stern’s sequence, defined by $b_0:=0,b_1:=1,$ and $b_{2n}:=-b_n,b_{2n+1}:=-(b_n+b_{n+1})$ for any $n>0$.

The aim of our paper is to show the analogs on the generating function $B\left(z\right)$ of $\left(b_n\right)$ of the above-mentioned arithmetical results on $A\left(z\right)$, to prove the algebraic independence of $A\left(z\right),B\left(z\right)$ over the field $ℂ\left(z\right)$, to use this fact to conclude that, for any complex $\alpha$ with $0<\left|\alpha \right|<1$, the transcendence degree of the field $\mathbb{Q}(\alpha ,A(\alpha ),B(\alpha \left)\right)$ over $\mathbb{Q}$ is at least 2, and to provide rather good upper bounds for the irrationality exponent of $A(r/s)$ and $B(r/s)$ for integers $r,s$ with $0<\left|r\right|<s$ and sufficiently small $(log|r\left|\right)/(logs)$.

Résumé

Très récemment, la fonction génératrice $A\left(z\right)$ de la suite ${\left(a_n\right)}_{n\ge 0}$ de Stern, définie par $a_0:=0,a_1:=1,$ et $a_{2n}:=a_n,a_{2n+1}:=a_n+a_{n+1}$ pour tout entier $n>0$, a été considérée du point de vue arithmétique. Coons [8] a montré la transcendance de $A\left(\alpha \right)$ pour tout $\alpha$ algébrique avec $0<\left|\alpha \right|<1$, et ce résultat fut généralisé dans [6] de sorte que, pour les mêmes $\alpha$, les nombres $A\left(\alpha \right),A^{\prime }\left(\alpha \right),A^{\prime \prime }\left(\alpha \right),...$ sont algébriquement indépendants. À peu près au même temps, Bacher [4] a étudié la version tordue $\left(b_n\right)$ de la suite de Stern, définie par $b_0:=0,b_1:=1,$ et $b_{2n}:=-b_n,b_{2n+1}:=-(b_n+b_{n+1})$ pour tout $n>0$.

Les objectifs principaux du présent travail sont d’établir les analogues sur la fonction génératrice $B\left(z\right)$ de $\left(b_n\right)$ des résultats arithmétiques mentionnés plus haut concernant $A\left(z\right)$, de démontrer l’indépendance algébrique de $A\left(z\right),B\left(z\right)$ sur le corps $ℂ\left(z\right)$, d’utiliser ce fait pour en déduire que, pour tout nombre complexe $\alpha$ avec $0<\left|\alpha \right|<1$, le degré de transcendance du corps $\mathbb{Q}(\alpha ,A(\alpha ),B(\alpha \left)\right)$ sur $\mathbb{Q}$ est au moins 2, et de fournir des majorations assez bonnes pour l’exposant d’irrationalité de $A(r/s)$ et de $B(r/s)$, où $r,s$ sont des entiers avec $0<\left|r\right|<s$ et $(log|r\left|\right)/(logs)$ suffisamment petit.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.824