On classifying Laguerre polynomials which have Galois group the alternating group

Banerjee, Pradipto¹ ; Filaseta, Michael² ; Finch, Carrie E.³ ; Leidy, J. Russell²

¹ Indian Statistical Institute Stat-Math Unit 203 Barrackpore Trunk Road Kolkata 700108, India
² University of South Carolina Department of Mathematics 1523 Greene Street Columbia, SC 29208, USA
³ Washington and Lee University Mathematics Department Robinson Hall Lexington VA 24450, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 25 (2013) no. 1, pp. 1-30

Abstract (VO)

We show that the discriminant of the generalized Laguerre polynomial $L_n^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)$ is a non-zero square for some integer pair $(n,\alpha )$, with $n\ge 1$, if and only if $(n,\alpha )$ belongs to one of $30$ explicitly given infinite sets of pairs or to an additional finite set of pairs. As a consequence, we obtain new information on when the Galois group of $L_n^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)$ over $\mathbb{Q}$ is the alternating group $A_n$. For example, we establish that for all but finitely many positive integers $n\equiv 2(mod4)$, the only $\alpha$ for which the Galois group of $L_n^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)$ over $\mathbb{Q}$ is $A_n$ is $\alpha =n$.

Résumé

Nous démontrons que le discriminant du polynôme de Laguerre généralisé $L_n^{\left(\alpha \right)}\left(x\right)$, pour un couple $(n,\alpha )$ d’entiers avec $n\ge 1$, n’est le carré d’un entier non nul que si $(n,\alpha )$ fait partie d’une trentaine d’ensembles explicites et infinis ou si $(n,\alpha )$ fait partie d’un ensemble supplémentaire qui est fini. Donc nous obtenons de nouvelles informations concernant la réalisation du groupe alterné $A_n$ comme groupe de Galois du polynôme $L_n^{\alpha }\left(x\right)$ sur les nombres rationnels $\mathbb{Q}$. Par exemple, nous établissons que pour tous les entiers positifs $n$ avec $n\equiv 2(mod4)$ (avec un nombre fini de cas exceptionnels), la seule valeur d’$\alpha$ pour laquelle le groupe de Galois est le groupe alterné $A_n$ est le cas où $\alpha =n$.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.822

Classification : 11R32, 11C08, 33C45
Keywords: Generalized Laguerre polynomials, discriminants