Lehmer’s conjecture for polynomials satisfying a congruence divisibility condition and an analogue for elliptic curves

Silverman, Joseph H.¹ 

¹ Mathematics Department, Box 1917 Brown University, Providence, RI 02912 USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 24 (2012) no. 3, pp. 751-772

Abstract (VO)

A number of authors have proven explicit versions of Lehmer’s conjecture for polynomials whose coefficients are all congruent to $1$ modulo $m$. We prove a similar result for polynomials $f\left(X\right)$ that are divisible in $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\left[X\right]$ by a polynomial of the form $1+X+\cdots +X^n$ for some $n\ge ϵdeg\left(f\right)$. We also formulate and prove an analogous statement for elliptic curves.

Résumé

De nombreux auteurs ont prouvé des versions explicites de la conjecture de Lehmer dans le cas particulier de polynômes dont les coefficients sont tous congrus à $1$ modulo un entier $m>1$. Nous prouvons ici un résultat similaire pour les polynômes qui sont divisibles dans l’anneau $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})\left[X\right]$ par un polynôme de la forme $1+X+\cdots +X^n$ pour un certain $n\ge ϵdeg\left(f\right)$. Nous prouvons également un énoncé analogue pour les courbes elliptiques.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.820

Classification : 11G05, 11G50, 11J97, 14H52
Keywords: Lehmer conjecture, elliptic curve, canonical height