Steinitz classes of some abelian and nonabelian extensions of even degree

Cobbe, Alessandro

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 3, pp. 607-628

Abstract (VO)

The Steinitz class of a number field extension $K/k$ is an ideal class in the ring of integers ${𝒪}_k$ of $k$, which, together with the degree $[K:k]$ of the extension determines the ${𝒪}_k$-module structure of ${𝒪}_K$. We denote by ${\mathrm{R}}_t(k,G)$ the set of classes which are Steinitz classes of a tamely ramified $G$-extension of $k$. We will say that those classes are realizable for the group $G$; it is conjectured that the set of realizable classes is always a group.

In this paper we will develop some of the ideas contained in [7] to obtain some results in the case of groups of even order. In particular we show that to study the realizable Steinitz classes for abelian groups, it is enough to consider the case of cyclic groups of $2$-power degree.

Résumé

La classe de Steinitz d’une extension de corps de nombres $K/k$ est une classe d’idéaux dans l’anneau des entiers ${𝒪}_k$ de $k$, qui avec le degré $[K:k]$ de l’extension détermine la structure de $O_K$ comme $O_k$-module. Nous dénotons par ${\mathrm{R}}_t(k,G)$ l’ensemble des classes qui sont classes de Steinitz d’une extension modérée du $k$ avec groupe de Galois $G$. Nous dirons que ces classes sont réalisables pour le groupe $G$ ; il est conjecturé que l’ensemble des classes réalisables est toujours un groupe.

Dans cet article nous allons développer des idées contenues dans [7] pour obtenir des résultats dans le cas de groupes d’ordre pair. En particulier nous allons montrer que l’étude des classes de Steinitz réalisables pour les groupes abéliens peut être réduit au cas des groupes cycliques d’ordre une puissance de $2$.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.735