Fonctions à valeurs entières et module de Carlitz

Adam, David¹

¹ LAMFA CNRS UMR 6140 Laboratoire Amiénois de Mathématiques Fondamentales et Appliquées Faculté de Mathématiques et d’Informatique 33, rue Saint-Leu, 80039 Amiens Cedex 1

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 22 (2010) no. 2, pp. 271-286

Résumé (VO)

Soient $C$ le module de Carlitz, $H$ un polynôme de ${𝔽}_q\left[T\right]$ et $𝔖$ l’ensemble $\{C_a\left(H\right)\mid a\in {𝔽}_q\left[T\right]\}$. Nous montrons qu’une fonction entière de type quadratique $<\frac{1}{4degH}$ qui prend des valeurs entières sur $𝔖$, est polynomiale. De plus, la borne $\frac{1}{4degH}$ est optimale. Ceci est un analogue en caractéristique finie du théorème de Gel’fond-Pólya.

Abstract

Integer valued functions and Carlitz module

Let $C$ be the Carlitz module, let $H$ $\in {𝔽}_q\left[T\right]$ and let $𝔖$ be the set $\{C_a\left(H\right)\mid a\in {𝔽}_q\left[T\right]\}$. in this article, we prove that if an entire function has a quadratic type $<\frac{1}{4degH}$ and takes integer values over $𝔖$, then it is a polynomial. The bound $\frac{1}{4degH}$ is optimal. This is an analog for the finite characteristic case of Pólya-Gel’fond’s theorem.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.715

Classification : 13F20, 11R58