Hilbert-Speiser number fields and Stickelberger ideals

Ichimura, Humio¹

¹ Faculty of Science, Ibaraki University Bunkyo 2-1-1, Mito, 310-8512, Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 3, pp. 589-607

Abstract (VO)

Let $p$ be a prime number. We say that a number field $F$ satisfies the condition $\left(H_{p^n}^{\prime }\right)$ when any abelian extension $N/F$ of exponent dividing $p^n$ has a normal integral basis with respect to the ring of $p$-integers. We also say that $F$ satisfies $\left(H_{p^{\infty }}^{\prime }\right)$ when it satisfies $\left(H_{p^n}^{\prime }\right)$ for all $n\ge 1$. It is known that the rationals $\mathbb{Q}$ satisfy $\left(H_{p^{\infty }}^{\prime }\right)$ for all prime numbers $p$. In this paper, we give a simple condition for a number field $F$ to satisfy $\left(H_{p^n}^{\prime }\right)$ in terms of the ideal class group of $K=F\left({\zeta }_{p^n}\right)$ and a “Stickelberger ideal” associated to the Galois group $\mathrm{Gal}(K/F)$. As an application, we give a candidate of an imaginary quadratic field $F$ which has a possibility of satisfying the very strong condition $\left(H_{p^{\infty }}^{\prime }\right)$ for a small prime number $p$.

Résumé

Soit $p$ un nombre premier. On dit qu’un corps de nombres $F$ satisfait la condition $\left(H_{p^n}^{\prime }\right)$ si toute extension abélienne $N/F$ d’exposant divisant $p^n$ possède une base normale d’entiers sur l’anneau des $p$-entiers. On dit aussi que $F$ satisfait la condition $\left(H_{p^{\infty }}^{\prime }\right)$ s’il satisfait $\left(H_{p^n}^{\prime }\right)$ pour tout $n\ge 1$. Il est bien connu que le corps des rationnels $\mathbb{Q}$ satisfait $\left(H_{p^{\infty }}^{\prime }\right)$ pour les nombres premiers $p$. Dans cet article, nous donnons une condition simple pour qu’un corps de nombres $F$ satisfasse $\left(H_{p^n}^{\prime }\right)$ en termes du groupe des classes d’idéaux de $K=F\left({\zeta }_{p^n}\right)$ et d’un “idéal de Stickelberger” associé au groupe de Galois $\mathrm{Gal}(K/F)$. Comme application, nous donnons un corps quadratique imaginaire qui pourait vérifier la condition très forte $\left(H_{p^{\infty }}^{\prime }\right)$ pour un petit nombre premier $p$.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.690

Classification : 11R33, 11R18