On the counting function for the generalized Niven numbers

Daileda, Ryan¹ ; Jou, Jessica² ; Lemke-Oliver, Robert³ ; Rossolimo, Elizabeth⁴ ; Treviño, Enrique⁵

¹ Mathematics Department Trinity University One Trinity Place San Antonio, TX 78212-7200, USA
² 678-2 Azumi, Ichinomiya-cho Shiso-shi, Hyogo 671-4131 Japan
³ Deparment of Mathematics University of Wisconsin Madison 480 Lincoln Dr Madison, WI 53706 USA
⁴ Department of Mathematics and Statistics Lederle Graduate Research Tower Box 34515 University of Massachusetts Amherst Amherst, MA 01003-9305, USA
⁵ Department of Mathematics 6188 Kemeny Hall Dartmouth College Hanover, NH 03755-3551, USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 21 (2009) no. 3, pp. 503-515

Abstract (VO)

Given an integer base $q\ge 2$ and a completely $q$-additive arithmetic function $f$ taking integer values, we deduce an asymptotic expression for the counting function

$$N_f\left(x\right)=\#\left\{0\le n<x\left|f\right(n)\mid n\right\}$$

under a mild restriction on the values of $f$. When $f=s_q$, the base $q$ sum of digits function, the integers counted by $N_f$ are the so-called base $q$ Niven numbers, and our result provides a generalization of the asymptotic known in that case.

Résumé

Étant donnés $q\ge 2$ un entier naturel et $f$ une fonction complètement q-additive à valeurs dans l’ensemble des nombres entiers relatifs, on calcule une expression asymptotique de la fonction $N_f$ qui à $x$ associe la cardinalité de l’ensemble

$$\{0\le n<x|f\left(n\right)\mid n\}$$

quand les valeurs de $f$ sont soumises à une petite restriction. Dans le cas où $f=s_q$, la somme des chiffres d’un nombre en base $q$, les valeurs de la function $N_f$ comptent les nombres q-Harshad. Donc, notre résultat généralise la formule asymptotique dans ce cas.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.685

Classification : 11A25, 11A63, 11K65