On ideals free of large prime factors

Scourfield, Eira J.¹

¹ Mathematics Department, Royal Holloway University of London, Egham, Surrey TW20 0EX, UK.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 733-772

Abstract (VO)

In 1989, E. Saias established an asymptotic formula for $\Psi (x,y)=\left|\left\{n\le x:p\mid n\Rightarrow p\le y\right\}\right|$ with a very good error term, valid for $exp\left({(loglogx)}^{(5/3)+ϵ}\right)\le y\le x$, $x\ge x_0\left(ϵ\right)$, $ϵ>0.$ We extend this result to an algebraic number field $K$ by obtaining an asymptotic formula for the analogous function ${\Psi }_K(x,y)$ with the same error term and valid in the same region. Our main objective is to compare the formulae for $\Psi (x,y)$ and ${\Psi }_K(x,y),$ and in particular to compare the second term in the two expansions.

Résumé

En 1989, E. Saias a établi une formule asymptotique pour $\Psi (x,y)=\left|\left\{n\le x:p\mid n\Rightarrow p\le y\right\}\right|$ avec un très bon terme d’erreur, valable si $exp\left({(loglogx)}^{(5/3)+ϵ}\right)\le y\le x$, $x\ge x_0\left(ϵ\right)$, $ϵ>0.$ Nous étendons ce résultat à un corps de nombre $K$ en obtenant une formule asymptotique pour la fonction analogue ${\Psi }_K(x,y)$ avec le même terme d’erreur et la même zone de validité. Notre objectif principal est de comparer les formules pour $\Psi (x,y)$ et ${\Psi }_K(x,y),$ en particulier comparer le second terme des développements.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.468