Character sums in complex half-planes

Konyagin, Sergei V.¹  ; Lev, Vsevolod F.²

¹ Department of Mechanics and Mathematics Moscow State University Moscow, Russia
² Department of Mathematics Haifa University at Oranim Tivon 36006, Israel

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 587-606

Abstract (VO)

Let $A$ be a finite subset of an abelian group $G$ and let $P$ be a closed half-plane of the complex plane, containing zero. We show that (unless $A$ possesses a special, explicitly indicated structure) there exists a non-trivial Fourier coefficient of the indicator function of $A$ which belongs to $P$. In other words, there exists a non-trivial character $\chi \in \widehat{G}$ such that ${\sum }_{a\in A}\chi \left(a\right)\in P$.

Résumé

Soit $A$ un sous-ensemble fini d’un groupe abélien $G$ et $P$ un demi-plan fermé du plan complexe contenant zéro. Nous montrons qu’il existe un coefficient de Fourier non-trivial de la fonction indicatrice de $A$ qui appartient à $P$ (si $A$ ne possède pas une structure spéciale explicite). Autrement dit, il existe un caractère non-trivial $\chi \in \widehat{G}$ tel que ${\sum }_{a\in A}\chi \left(a\right)\in P$.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.463