The cuspidal torsion packet on hyperelliptic Fermat quotients

Grant, David¹ ; Shaulis, Delphy¹

¹ Department of Mathematics University of Colorado at Boulder Boulder, CO 80309-0395 USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 577-585

Abstract (VO)

Let $\ell \ge 7$ be a prime, $C$ be the non-singular projective curve defined over $\mathbb{Q}$ by the affine model $y(1-y)=x^{\ell }$, $\infty$ the point of $C$ at infinity on this model, $J$ the Jacobian of $C$, and $\phi :C\to J$ the albanese embedding with $\infty$ as base point. Let $\overline{\mathbb{Q}}$ be an algebraic closure of $\mathbb{Q}$. Taking care of a case not covered in [12], we show that $\phi \left(C\right)\cap J_{tors}\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$ consists only of the image under $\phi$ of the Weierstrass points of $C$ and the points $(x,y)=(0,0)$ and $(0,1)$, where $J_{tors}$ denotes the torsion points of $J$.

Résumé

Soit $\ell \ge 7$ un nombre premier, soit $C$ la courbe projective lisse définie sur $\mathbb{Q}$ par le modèle affine $y(1-y)=x^{\ell }$, soit $\infty$ le point à l’infini de ce modèle de $C$, soit $J$ la jacobienne de $C$ et soit $\phi :C\to J$ le morphisme d’Abel-Jacobi associé à $\infty$. Soit $\overline{\mathbb{Q}}$ une clôture algébrique de $\mathbb{Q}$. Nous traitons ici un cas non couvert dans [12], en montrant que $\phi \left(C\right)\cap J_{tors}\left(\overline{\mathbb{Q}}\right)$ est composé de l’image par $\phi$ des points de Weierstrass de $C$ ainsi que les points $(x,y)=(0,0)$ et $(0,1)$ de $C$. Ici, $J_{tors}$ désigne les points de torsion de $J$.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.462