Algebraic independence over ${\mathbb{Q}}_p$

Bundschuh, Peter¹  ; Nishioka, Kumiko²

¹ Mathematisches Institut Universität zu Köln Weyertal 86-90 50931 Köln, Germany
² Mathematics, Hiyoshi Campus Keio University 4-1-1 Hiyoshi, Kohoku-ku Yokohama 223-8521, Japan

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 519-533

Abstract (VO)

Let $f\left(x\right)$ be a power series ${\sum }_{n\ge 1}\zeta \left(n\right)x^{e\left(n\right)}$, where $\left(e\right(n\left)\right)$ is a strictly increasing linear recurrence sequence of non-negative integers, and $\left(\zeta \right(n\left)\right)$ a sequence of roots of unity in ${\overline{\mathbb{Q}}}_p$ satisfying an appropriate technical condition. Then we are mainly interested in characterizing the algebraic independence over ${\mathbb{Q}}_p$ of the elements $f\left({\alpha }_1\right),...,$ $f\left({\alpha }_t\right)$ from ${ℂ}_p$ in terms of the distinct ${\alpha }_1,...,{\alpha }_t\in {\mathbb{Q}}_p$ satisfying $0<|{\alpha }_{\tau }{|}_p<1$ for $\tau =1,...,t$. A striking application of our basic result says that, in the case $e\left(n\right)=n$, the set $\left\{f\left(\alpha \right)\right|\alpha \in {\mathbb{Q}}_p,0<|\alpha {|}_p<1\}$ is algebraically independent over ${\mathbb{Q}}_p$ if $\left(\zeta \right(n\left)\right)$ satisfies the “technical condition”. We close with a conjecture concerning more general sequences $\left(e\right(n\left)\right)$.

Résumé

Soit $f\left(x\right)$ une série entière ${\sum }_{n\ge 1}\zeta \left(n\right)x^{e\left(n\right)}$, où $\left(e\right(n\left)\right)$ est une suite récurrente linéaire d’entiers naturels, strictement croissante, et $\left(\zeta \right(n\left)\right)$ une suite de racines de l’unité dans ${\overline{\mathbb{Q}}}_p$, qui satisfait à une hypothèse technique convenable. Alors nous nous sommes particulièrement intéressés à caractériser l’indépendance algébrique sur ${\mathbb{Q}}_p$ des éléments $f\left({\alpha }_1\right),...,f\left({\alpha }_t\right)$ de ${ℂ}_p$ en fonction des ${\alpha }_1,...,{\alpha }_t\in {\mathbb{Q}}_p$, deux à deux distincts, avec $0<|{\alpha }_{\tau }{|}_p<1$ pour $\tau =1,...,t$. Une application remarquable de notre résultat principal dit que, dans le cas $e\left(n\right)=n$, l’ensemble $\left\{f\left(\alpha \right)\right|\alpha \in {\mathbb{Q}}_p,0<|\alpha {|}_p<1\}$ est algébriquement indépendant sur ${\mathbb{Q}}_p$, si $\left(\zeta \right(n\left)\right)$ satisfait à “l’hypothèse technique”. Nous terminerons par une conjecture portant sur des suites $\left(e\right(n\left)\right)$ plus générales.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.458