On some subgroups of the multiplicative group of finite rings

Voloch, José Felipe¹

¹ Department of Mathematics The University of Texas at Austin 1 University Station C1200 Austin, TX 78712-0257 USA

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 1, pp. 233-239

Abstract (VO)

Let $S$ be a subset of ${\mathbf{F}}_q$, the field of $q$ elements and $h\in {\mathbf{F}}_q\left[x\right]$ a polynomial of degree $d>1$ with no roots in $S$. Consider the group generated by the image of $\{x-s\mid s\in S\}$ in the group of units of the ring ${\mathbf{F}}_q\left[x\right]/\left(h\right)$. In this paper we present a number of lower bounds for the size of this group. Our main motivation is an application to the recent polynomial time primality testing algorithm [AKS]. The bounds have also applications to graph theory and to the bounding of the number of rational points on abelian covers of the projective line over finite fields.

Résumé

Soit $S$ un sous-ensemble de ${\mathbf{F}}_q$, le corps à $q$ éléments et $h\in {\mathbf{F}}_q\left[x\right]$ un polynôme de degré $d>1$ sans racines dans $S$. On considère le groupe généré par l’image de $\{x-s\mid s\in S\}$ dans le groupe des unités de l’anneau ${\mathbf{F}}_q\left[x\right]/\left(h\right)$. Dans cet article nous présentons les bornes inférieures pour le cardinal de ce groupe. Notre motivation principale est une application au nouvel algorithme polynomial pour tester la primalité [AKS]. Ces bornes ont également des applications à la théorie des graphes et pour majorer le nombre de points rationnels sur les revètement abeliens de la droite projective sur les corps finis.

Détail

DOI : 10.5802/jtnb.445