Répartition en moyenne de certaines fonctions arithmétiques sur l'ensemble des entiers sans grand facteur premier

Naimi, Mongi 

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 15 (2003) no. 3, pp. 745-766

Résumé (VO)

Soient $\lambda >1,0<\eta <\frac{1}{2}$ et $g\left(n\right)$ une fonction multiplicative vérifiant $\left\{\begin{array}{c}g\left(p\right)=1/\lambda \\ g\left(n\right)\gg n^{-\eta }\end{array}\right.$. Dans ce travail, on établit une formule asymptotique de la somme ${\sum }_{ng\left(n\right)\le x;P\left(n\right)\le y}1$, valable dans le domaine exp${(loglogcx)}^{\frac{5}{3}+ϵ}\le y/\lambda \le cx$, et on donne une condition nécessaire et suffisante pour que cette somme soit équivalente à ${\sum }_{n\le x;P\left(n\right)\le y}1/g\left(n\right)$.

Abstract

Let $\lambda >1,0<\eta <\frac{1}{2}$ and $g\left(n\right)$ be a multiplicative function such that $\left\{\begin{array}{c}g\left(p\right)=1/\lambda \\ g\left(n\right)\gg n^{-\eta }\end{array}\right.$. In the present work, we establish an asymptotic formula for the ${\sum }_{ng\left(n\right)\le x;P\left(n\right)\le y}1$, valid in the domain exp ${(loglogcx)}^{\frac{5}{3}+ϵ}\le y/\lambda \le cx$, and we give a necessary and sufficient condition for this sum to be equivalent to ${\sum }_{n\le x;P\left(n\right)\le y}1/g\left(n\right)$.