Maximal unramified extensions of imaginary quadratic number fields of small conductors, II

Yamamura, Ken

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 633-649

Abstract (VO)

In the previous paper [15], we determined the structure of the Galois groups $\text{Gal}(K_{ur}/K)$ of the maximal unramified extensions $K_{ur}$ of imaginary quadratic number fields $K$ of conductors $\leqq 1000$ under the Generalized Riemann Hypothesis (GRH) except for 23 fields (these are of conductors $\geqq 723$) and give a table of $\text{Gal}(K_{ur}/K)$. We update the table (under GRH). For 19 exceptional fields $K$ of them, we determine $\text{Gal}(K_{ur}/K)$. In particular, for $K=𝐐\left(\sqrt{-856}\right)$, we obtain $\text{Gal}(K_{ur}/K)\cong \widetilde{S_4}\times C_5\text{and}{K}_{ur}=K_4$, the fourth Hilbert class field of $K$. This is the first example of a number field whose class field tower has length four.

Résumé

Dans l’article [15], nous donnions dans une table la structure des groupes de Galois $\text{Gal}(K_{ur}/K)$ des extensions maximales non ramifiées $K_{ur}$ des corps de nombres quadratiques imaginaires $K$ de conducteur $\leqq 1000$ sous l’Hypothèse de Riemann Généralisée, sauf pour 23 d’entre eux (tous de conducteur $\geqq 723$). Ici nous mettons à jour cette table, en précisant, pour 19 de ces corps exceptionnels, la structure de $\text{Gal}(K_{ur}/K)$. En particulier pour $K=𝐐\left(\sqrt{-856}\right)$, nous obtenons $\text{Gal}(K_{ur}/K)\cong \widetilde{S_4}\times C_5\text{et}{K}_{ur}=K_4$, le quatrième corps de classes de Hilbert de $K$. C’est le premier exemple d’un corps de nombres dont la tour de corps de classes est de longueur $4$.