More on inhomogeneous diophantine approximation

Pinner, Christopher G.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 539-557

Abstract (VO)

For an irrational real number$\alpha$ and real number $\gamma$ we consider the inhomogeneous approximation constant

$$M(\alpha ,\gamma ):=\underset{\left|n\right|\to \infty }{lim\; inf}\left|n\right|\left|\right|n\alpha -\gamma \left|\right|$$

via the semi-regular negative continued fraction expansion of $\alpha$

$$\alpha =\frac{1}{a_1-\frac{1}{a_2-\frac{1}{a_3-\cdots }}}$$

and an appropriate alpha-expansion of $\gamma$. We give an upper bound on the case of worst inhomogeneous approximation,

$$\rho \left(\alpha \right):=\underset{\gamma \notin 𝐙+\alpha 𝐙}{sup}M(\alpha ,\gamma ),$$

which is sharp when the partial quotients ai are almost all even and at least four. When the negative expansion has period one we give a complete description of the spectrum of values

$$L\left(\alpha \right):=\left\{M\right(\alpha ,\gamma ):\gamma \notin 𝐙+\alpha 𝐙\},$$

above the first limit point.

Résumé

Pour un nombre irrationnel $\alpha$ et un nombre réel $\gamma$, on considère la constante d’approximation non-homogène

$$M(\alpha ,\gamma ):=\underset{\left|n\right|\to \infty }{lim\; inf}\left|n\right|\left|\right|n\alpha -\gamma \left|\right|$$

en rapport avec le développement en fraction continue négatif semi-régulier de $\alpha$

$$\alpha =\frac{1}{a_1-\frac{1}{a_2-\frac{1}{a_3-\cdots }}}$$

et un $\alpha$-développement adéquat de $\gamma$. Nous donnons une majoration de

$$\rho \left(\alpha \right):=\underset{\gamma \notin 𝐙+\alpha 𝐙}{sup}M(\alpha ,\gamma ),$$

dans le cas où $\alpha$ est mal approximé, qui s’avère fine lorsque les quotients partiels $a_i$ sont presque tous pairs et supérieurs ou égaux à $4$. Lorsque le développement de $\alpha$ est de période $1$, on décrit entièrement le spectre des valeurs prises par

$$𝐋\left(\alpha \right):=\left\{M\right(\alpha ,\gamma ):\gamma \notin 𝐙+\alpha 𝐙\},$$

au-dessus du premier point d’accumulation.