On sums of Hecke series in short intervals

Ivić, Aleksandar

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 13 (2001) no. 2, pp. 453-468

Abstract (VO)

We have ${\sum }_{K-G\le k_j\le K+G}{\alpha }_j{H}_j^3\left(\frac{1}{2}\right){\ll }_{ϵ}G{K}^{1+ϵ}$ for $K^{ϵ}\le G\le K,\text{where}{\alpha }_j={\left|{\rho }_j\left(1\right)\right|}^2{(cosh\pi k_j)}^{-1},\text{and}{\rho }_j\left(1\right)$ is the first Fourier coefficient of the Maass wave form corresponding to the eigenvalue ${\lambda }_j=k_j^2+\frac{1}{4}$ to which the Hecke series $H_j\left(s\right)$ is attached. This result yields the new bound $H_j\left(\frac{1}{2}\right){\ll }_{ϵ}{k}_j^{\frac{1}{3}+ϵ}.$

Résumé

On a ${\sum }_{K-G\le k_j\le K+G}{\alpha }_j{H}_j^3\left(\frac{1}{2}\right){\ll }_{ϵ}G{K}^{1+ϵ}$ pour $K^{ϵ}\le G\le K,\text{ou}{\alpha }_j={\left|{\rho }_j\left(1\right)\right|}^2{(cosh\pi k_j)}^{-1},\text{et}{\rho }_j\left(1\right)$ est le premier coefficient de Fourier de forme de Maass correspondant à la valeur propre ${\lambda }_j=k_j^2+\frac{1}{4}$ à laquelle le série de Hecke $H_j\left(s\right)$ est attachée. Ce résultat fournit l’estimation nouvelle $H_j\left(\frac{1}{2}\right){\ll }_{ϵ}{k}_j^{\frac{1}{3}+ϵ}.$