On the number of subgroups of finite abelian groups

Ivić, Aleksandar

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 9 (1997) no. 2, pp. 371-381

Abstract (VO)

Let

$$T\left(x\right)=K_{1}x{log}^{2}x+K_{2}xlogx+K_{3}x+\Delta \left(x\right),$$

where $T\left(x\right)$ denotes the number of subgroups of all abelian groups whose order does not exceed $x$ and whose rank does not exceed $2$, and $\Delta \left(x\right)$ is the error term. It is proved that

$${\int }_1^X{\Delta }^2\left(x\right)dx\ll X^2{log}^{31/3}X,{\int }_1^X{\Delta }^2\left(x\right)dx=\Omega \left(X^2{log}^{4}X\right).$$

Résumé

Soit

$$T\left(x\right)=K_{1}x{log}^{2}x+K_{2}xlogx+K_{3}x+\Delta \left(x\right),$$

où $T\left(x\right)$ désigne le nombre de sous groupes des groupes abéliens dont l’ordre n’excède pas $x$ et dont le rang n’excède pas $2$, et $\Delta \left(x\right)$ est le terme d’erreur. On démontre que

$${\int }_1^X{\Delta }^2\left(x\right)dx\ll X^2{log}^{31/3}X,{\int }_1^X{\Delta }^2\left(x\right)dx=\Omega \left(X^2{log}^{4}X\right).$$

Détail

Classification : 11N45, 11L07, 20K01, 20K27