Sur un procédé universel d'extraction

Barat, Guy

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 7 (1995) no. 2, pp. 435-445

Résumé

On étudie ici un procédé universel d’extraction de suites - extraction en un sens élargi qui sera précisé - consistant à piquer les chiffres de l’écriture en base $d$ des indices de la suite, cela suivant une partie $E$ de $\mathbb{N}$. On s’intéresse plus particulièrement à l’action de ce procédé sur les suites périodiques, en liaison avec la régularité de la partie $E$, en termes de périodicité, de quasi-périodicité et d’automaticité. Ainsi (à une restriction évidente près), les procédés associés aux parties ultimement périodiques de $\mathbb{N}$ transforment suites périodiques en suites automatiques, mais conservent l’automaticité - ces parties de $\mathbb{N}$ étant les seules à posséder cette propriété. D’autre part, les parties de $\mathbb{N}$ inférieurement lacunaires sont les seules à transformer toute suite en une suite quasi-périodique, et celles qui sont arithmétiquement denses changent le périodique en quasi-périodique.