Bases normales d'entiers dans les extensions de Kummer de degré premier

Gómez Ayala, E. J.

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 6 (1994) no. 1, pp. 95-116

Résumé (VO)

Si $F$ est un corps de nombres, on note ${𝔒}_F$ son anneau d’entiers ; si $E/F$ est une extension galoisienne finie de corps de nombres de groupe de Galois $G$, on appelle base normale de ${𝔒}_E$ sur ${𝔒}_F$ toute base de ${𝔒}_E$ en tant que ${𝔒}_F$-module de la forme ${\left\{a^g\right\}}_{g\in G}$ avec $a\in {𝔒}_E$. On démontre dans ce travail un critère d’existence de base normale d’entiers pour les extensions de Kummer de degré premier, qui permet une construction explicite en cas d’existence ; les principaux outils pour la démonstration sont une formule de Fröhlich pour les résolvantes ainsi qu’un critère de Hecke qui décrit la ramification dans une extension de Kummer de degré premier. Comme application, on utilise ce critère pour déduire un théorème de base normale obtenu par F. Kawamoto.

Abstract

If $F$ is a number field, we denote by ${𝔇}_F$ its ring of integers. Let $E/F$ be a finite Galois extension of number fields with group $G$ ; a basis of ${𝔇}_E$ as ${𝔇}_F$-module of the form ${\left\{a^9\right\}}_{g\in G}$ is called a normal basis of ${𝔇}_E$ over ${𝔇}_F$. In this paper we establish an existence criterion for an integral normal basis in a Kummer extension of prime degree, which shows in addition how to construct a normal basis in case it exists. The main tools used in the proof are a formula of Frôhlich for the resolvents and a theorem of Hecke describing the ramification in a Kummer extension of prime degree. As an application, we show how to use our criterion to deduce a normal basis theorem obtained by F. Kawamoto.