Une alternative robuste au maximum de vraisemblance : la $\rho$-estimation

Baraud, Yannick  ; Birgé, Lucien 

Journal de la société française de statistique, Tome 158 (2017) no. 3, pp. 1-26

Résumé (VO)

Cet article est fondé sur les notes du mini-cours que nous avons donné le 5 janvier 2017 à l’Institut Henri Poincaré à l’occasion d’une journée organisée par la Société Française de Statistique et consacrée à la Statistique Mathématique. Il vise à donner un aperçu de la méthode de $\rho$-estimation comme alternative à celle du maximum de vraisemblance, ainsi que des propriétés d’optimalité et de robustesse des $\rho$-estimateurs. Cette méthode s’inscrit dans une longue lignée de recherche initiée par de célèbres statisticiens tels que Sir Ronald Fisher, avec le maximum de vraisemblance dans les années 20, ou Lucien Le Cam, avec des estimateurs fondés sur des tests entre boules de Hellinger dans les années 70, et dont l’objectif a été de produire des méthodes d’estimation possédant de bonnes propriétés pour un ensemble de cadres statistiques aussi vaste que possible. Plus récemment, Birgé avec les d- puis T-estimateurs, a étendu les résultats de Le Cam dans diverses directions, en particulier la robustesse et l’adaptation. Nous mettrons en lumière les liens forts qui existent entre les $\rho$-estimateurs et ces prédécesseurs, notamment les estimateurs du maximum de vraisemblance, mais montrerons également, au travers d’exemples choisis, que les $\rho$-estimateurs les surpassent par bien des aspects.

Abstract

This paper is based on the notes of the short course that we delivered on January 5, 2017 at Institut Henri Poincaré on the occasion of a session devoted to Mathematical Statistics and organized by the Société Française de Statistique. Its purpose is to give a brief account of the method of $\rho$-estimation as an alternative to the MLE (Maximum Likelihood Estimator) as well as the optimality and robustness properties of $\rho$-estimators. This method is in the lign of a long series of works initiated by celebrated statisticians like Sir Ronald Fisher (with the MLE in the 20’s) or Lucien Le Cam (with estimators based on tests between Hellinger balls in the 70’s) with the purpose of building estimation methods with good properties for a wide class of statistical problems. More recently, Birgé, building d- then T-estimators, extended Le Cam’s results in various directions, in particular towards robustness and adaptation. We shall emphasize the strong connections between $\rho$-estimators and their predeccessors, mostly the MLE and shall show, with well-chosen exemples, that the $\rho$-estimators do behave in a better way from various respects.

Détail

Mots-clés : maximum de vraisemblance, estimateurs robustes, $\rho $-estimateurs, regression à plan aléatoire
Keywords: maximum likelihood, robust estimators, $\rho $-estimation, random design regression