Numéro spécial : Special Issue on Modelling and Inference for Infectious diseases

Approximation and inference of epidemic dynamics by diffusion processes

[Approximation et inférence des dynamiques épidémiques par des processus de diffusion]

Guy, Romain ; Larédo, Catherine  ; Vergu, Elisabeta 

Journal de la société française de statistique, Tome 157 (2016) no. 1, pp. 71-100

Abstract (VO)

Epidemic data are often aggregated and partially observed. Parametric inference through likelihood-based approaches is rarely straightforward, whatever the mathematical representation used. Recent data augmentation and likelihood-free methods do not completely circumvent the issues related to incomplete data in practice, mainly due to the size of missing data and to the various tuning parameters to be adjusted. In this context, diffusion processes provide a good approximation of epidemic dynamics and allow shedding new light on inference problems related to epidemic data. In this article we summarize and extend previous work on the elaboration of a statistical framework to deal with epidemic models and epidemic data using multidimensional diffusion processes with small diffusion coefficient. First, we construct multidimensional diffusion processes with small variance as mathematical representations of epidemic dynamics, by approximating Markov jump processes. Second, we introduce an inference method related to the asymptotic of the small diffusion coefficient on a fixed time interval for the parameters of the diffusion processes obtained, when all the coordinates are discretely observed. Consistency and asymptotic normality of estimators for this case are obtained for parameters in drift (high and low frequency observations) and diffusion (high frequency observations) coefficients. Third, as an extension of previous work, the case of incomplete data, when only one coordinate of the system is observed, is considered for high frequency observations. Finally, the performances of our estimators are explored for single outbreaks ($SIR$ model, simulated data) and for recurrent outbreaks ($SIRS$ model, simulated and observed data).

Résumé

Les données épidémiques sont souvent agrégées et partiellement observées. L’inférence paramétrique par des approches de vraisemblance est rarement pratiquable, indépendamment du formalisme mathématique utilisé. Les méthodes récentes d’augmentation de données ou sans vraisemblance ne permettent pas de résoudre définitivement le problème des données incomplètes en pratique, notamment à cause de la taille des données à compléter et des différents paramètres algorithmiques d’ajustement. Dans ce contexte, les processus de diffusion fournissent de bonnes approximations des dynamiques épidémiques et apportent un nouvel éclairage aux problèmes d’inférence liés aux données épidémiques. Dans cet article, nous résumons et complétons des travaux précédents sur l’élaboration d’un cadre statistique pour traiter les modèles et les données épidémiques en utilisant des processus de diffusion multidimensionnels à petite variance. Premièrement, nous construisons de tels processus, comme représentations mathématiques des dynamiques épidémiques, en approximant des processus Markoviens de sauts. Deuxièmement, nous introduisons une méthode d’inférence dans le cadre asymptotique de la petite variance sur un intervalle de temps fixe pour les paramètres des processus de diffusion obtenus, lorsque toutes les coordonnées du système sont observées de façon discrétisée. La convergence et la normalité asymptotique des estimateurs sont obtenues dans ce cas pour les paramètres de la dérive (observations haute et basse fréquence) et du coefficient de diffusion (observations haute fréquence). Troisièmement, en prolongation de travaux précédents, nous étudions le cas des données incomplètes, lorsque seulement une coordonnée du système est observée, pour des observations haute fréquence. Finalement, les performances de nos estimateurs sont explorées pour une seule vague épidémique (modèle $SIR$, données simulées) et pour des épidémies récurrentes (modèle $SIRS$, données simulées et observées)

Détail

Keywords: epidemic data, parametric inference, discrete observations, partially observed processes
Mots-clés : donnés épidémiques, inférence paramétrique, observations discrétisées, processus partiellement observés