La Grassmannienne Non-linéaire comme Variété Fréchétique Homogène

M. Molitor

Journal of Lie theory, Tome 18 (2008) no. 3, pp. 523-539

Résumé

Soit $(M,g)$ une vari\'et\'e riemannienne compacte de dimension $n$. Pour $k\in \{0,...,n\}$, notons $Gr_{k}(M)$ l'ensemble des sous-vari\'et\'es compactes, connexes, orient\'ees de $M$ et de dimension $k$. Cet ensemble est appel\'e la Grassmannienne non-lin\'eaire. Dans cet article, nous munissons $Gr_{k}(M)$ d'une structure de vari\'et\'e fr\'ech\'etique et d\'eveloppons les propri\'et\'es les plus imm\'ediates de cette vari\'et\'e. Notamment, si $\Sigma\in Gr_{k}(M)$, nous montrons que $(\Sigma, M)$, l'espace des plongements de $\Sigma$ dans $M$, est l'espace total d'un fibr\'e principal ayant pour base la r\'eunion de certaines composantes connexes de $Gr_{k}(M)$. Nous montrons aussi que les composantes connexes de $Gr_{k}(M)$ sont homog\`enes sous l'action naturelle du groupe des diff\'eomorphismes de $M$.

Détail

Classification : 46T05, 58B10, 58B20, 58D15, 58D19
Mots-clés : Grassmannian non-linear, space of embeddings, homogeneous Frechet varieties, principal fibre