Sur l'équation de Ginzburg-Landau avec champ magnétique

Serfaty, Sylvia 

Journées équations aux dérivées partielles (1998), article no. 12, 13 p.

Résumé

On étudie la fonctionnelle d’énergie de Ginzburg-Landau

$$J(u,A)=\frac{1}{2}{\int }_{\Omega }|{\nabla }_A{u|}^2+|h-h_{ex}{|}^2+\frac{{\kappa }^2}{2}{(1-|u|}^2{)}^2,$$

qui modélise les supraconducteurs cylindriques soumis à un champ magnétique extérieur $h_{ex}$, dans l’asymptotique $\kappa \to \infty$. On trouve et on décrit des branches de solutions stables des équations associées. On a une estimation sur la valeur critique $H_{c_1}\left(\kappa \right)$ de $h_{ex}$ correspondant à une «transition de phase» où des vortex (c.à.d. zéros de $u$) deviennent énergétiquement favorables. On obtient également dans le cas d’un disque, que pour $h_{ex}\le H_{c_1}$ comme pour $h_{ex}\ge H_{c_1}$, il existe à la fois une solution sans vortex (unique), et des solutions à nombre de vortex arbitraires, chacune étant stable et minimisant l’énergie pour des domaines de champs précisés. En outre, les positions de leurs vortex tendent (lorsque $\kappa \to \infty$) à minimiser une fonction explicite simple, formant ainsi une sorte de réseau tel qu’on en observe physiquement.

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