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Reprint: Ein neues Prinzip für Transzendenzbeweise (1935)
Documenta mathematica, Mahler Selecta (2019), pp. 449-457.

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In this paper, Popken and Mahler extend a result in \textit{J. Popken}'s dissertation [Über arithmetische Eigenschaften analytischer Funktionen (German). Groningen: Univ. Groningen (Diss.) (1935; Zbl 0013.27004; JFM 61.1136.01)]. In particular, they show that, for any $q$ with $0|q|1$, at least one of the three numbers
$\sum_{n\ge 1}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^2},\quad \sum_{n\ge 1}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^4},\quad \sum_{n\ge 1}\frac{q^{2n}}{(1-q^{2n})^6}$
is a transcendental number. \par Reprint of the authors' paper [Proc. Akad. Wet. Amsterdam 38, 864--871 (1935; Zbl 0012.34101; JFM 61.0187.02)].
Classification : 11-03, 11J81 
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     author = {Popken, Jan and Mahler, Kurt},
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Popken, Jan; Mahler, Kurt. Reprint: Ein neues Prinzip für Transzendenzbeweise (1935). Documenta mathematica, Mahler Selecta (2019), pp. 449-457. http://geodesic.mathdoc.fr/item/DOCMA_2019__S1__a24/