Some Remarks on Prym-Tyurin Varieties

Parigi, Giuliano

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 10B (2007) no. 3, pp. 1055-1069.

Abstract (VO)

The aims of the present paper can be described as follows: a) In [2] Beauville showed that if some endomorphism $u$ a Jacobian $J(C)$ has connected kernel, the principal polarization on $J(C)$ induces a multiple of the principal polarization on the image of $u$. We reformulate and complete this theorem proving "constructively" the following: Theorem. Let $Z \subset J(C)$ be an abelian subvariety and $Y$ its complementary variety. $Z$ is a Prym-Tyurin variety with respect to $J(C)$ if and only if the following sequence $0 \to Y \hookrightarrow J(C) \to Z \to 0$ is exact. b) In [5] Izadi set the question whether every p.p.a.v. is a Prym-Tyurin variety for a symmetric fixed point free correspondence. In this work a contribution to a possible negative answer to this question is provided by building a classical Prym-Tyurin variety explicitly, but this variety can never be defined through a fixed point free correspondence.

Riassunto

Gli scopi del presente lavoro sono i seguenti: a) In [2] Beauville ha dimostrato che se un certo endomorfismo $u$ di una Jacobiana $J(C)$ ha nucleo connesso, la polarizzazione principale su $J(C)$ induce un multiplo di una polarizzazione principale sull'immagine di $u$. Si riformula e si completa questo teorema provando "costruttivamente" il seguente: Teorema. Sia $Z \subset J(C)$ una sottovarietà abeliana e $Y$ la sua varietà complementare. $Z$ è una varietà di Prym-Tyurin rispetto a $J(C)$ se e solo se la sequenza di Prym-Tyurin: $0 \to Y \hookrightarrow J(C) \to Z \to 0$ è esatta. b) In [5] Izadi pose la questione se ogni p.p.a.v. fosse una varietà rispetto ad una corrispondenza simmetrica senza punti fissi. In questo lavoro si fornisce un contributo ad una possibile risposta negativa a questa domanda costruendo una classica varietà di Prym-Tyurin esplicitamente tale che una tale varietà non possa mai essere definita da una corrispondenza senza punti fissi.

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