The Schreier Property and Gauss' Lemma

Anderson, Daniel D. ; Zafrullah, Muhammad

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 10B (2007) no. 1, pp. 43-62.

Abstract (VO)

Let $D$ be an integral domain with quotient field $D$. Recall that $D$ is Schreier if $D$ is integrally closed and for all $x, y, z \in D \setminus \{0\}$, $x|yz$ implies that $x = r \cdot s$ where $r|y$ e $s|z$. A GCD domain is Schreier. We show that an integral domain $D$ is a GCD domain if and only if (i) for each pair $a, b \in D \setminus \{0\}$, there is a finitely generated ideal $B$ such that $aD \bigcap bD = B_v$ and (ii) every quadratic in $D[X]$ that is a product of two linear polynomials in $K[X]$ is a product of two linear polynomials in $D[X]$. We also show that $D$ is Schreier if and only if every polynomial in $D[X]$ with a linear factor in $K[X]$ has a linear factor in $D[X]$ and show that $D$ is a Schreier domain with algebraically closed quotient field if and only if every nonconstant polynomial over $D$ is expressible as a product of linear polynomials. We also compare the two most common modes of generalizing GCD domains. One is via properties that imply Gauss' Lemma and the other is via the Schreier property. The Schreier property is not implied by any of the specializations of Gauss' Lemma while all but one of the specializations of Gauss Lemma are implied by the Schreier property.

Riassunto

Sia $D$ un dominio d'integrità con campo quoziente $K$. Si ricordi che $D$ è detto di Schreier se $D$ è integralmente chiuso e per ogni $x, y, z \in D \setminus \{0\}$, $x | yz$ implica che $x = r\cdots$ dove $r | y$ e $s | z$. Un dominio GCD è di Schreier. Mostriamo che un dominio d'integrità $D$ è un dominio GCD se e solo se (i) per ogni coppia $a, b \in D \setminus \{0\}$, esiste un ideale finitamente generato $B$ tale che $aD \bigcap bD =B_v$ e (ii) ogni polinomio quadrato in $D[X]$ che è il prodotto di due polinomi lineari in $K[X]$ è un prodotto di due polinomi lineari in $D[X]$. Dimostriamo anche che $D$ è di Schreier se e solo se ogni polinomio in $D[X]$ con un fattore lineare in $K[X]$ ha un fattore lineare in $D[X]$ e mostriamo che $D$ è un dominio di Schreier con campo quoziente algebricamente chiuso se e solo se ogni polinomio non costante su $D$ è esprimibile come un prodotto di polinomi lineari. Confrontiamo anche i due modi più comuni di generalizzare domini GCD. Uno è mediante proprietà che implicano il Lemma di Gauss e l'altro è mediante la proprietà di Schreier. La proprietà di Schreier non è implicata da nessuna delle specializzazioni del Lemma di Gauss mentre tutte tranne una delle specializzazioni del Lemma di Gauss sono implicate dalla proprietà di Schreier.

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