Numeri primi: la certezza

Caire, Luisella ; Cerruti, Umberto

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 10A (2007) no. 1, pp. 85-117

Résumé

Questo articolo fa seguito a quello (pubblicato su un numero precedente del BUMI) in cui abbiamo presentato alcuni algoritmi che studiano se un intero è primo.Mentre nel primo articolo i diversi metodi o erano efficienti ma poco sicuri o avevano, per ragioni varie, possibilità di incertezza, i due algoritmi che descriviamo in questo articolo, quando terminano, danno la certezza che un dato numero è primo. Esaminiamo i metodi ECPP (acronimo per `Elliptic Curve Primality Proving', basato sui gruppi formati dai punti delle curve ellittiche, introdotto e sviluppato da Goldwasser e Kilian nel 1986) e AKS (iniziali di Agrawal - Kayal - Saxena, i nomi dei tre studiosi indiani che lo hanno pubblicato nel 2002). Per comprendere l'algoritmo AKS parliamo di complessità computazionale, delle classi P e NP. Trattiamo anche delle relazioni che AKS ha con alcuni classici test di primalità. Per affrontare ECPP, facciamo alcuni richiami sulle curve ellittiche e sulla loro struttura di gruppo, e descriviamo il certificato di primalità che esso fornisce. Infine accenniamo ad alcuni recenti sviluppi, in particolare al possibile utilizzo simultaneo di ECPP e AKS.