Monotone operators in divergence form with $x$-dependent multivalued graphs

Francfort, Gilles ; Murat, François ; Tartar, Luc

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 7B (2004) no. 1, pp. 23-59.

Abstract (VO)

We prove the existence of solutions to $-\text{div}\, a(x, \text{grad}\, u)=f$, together with appropriate boundary conditions, whenever $a(x, e)$ is a maximal monotone graph in $e$, for every fixed $x$. We propose an adequate setting for this problem, in particular as far as measurability is concerned. It consists in looking at the graph after a $45^{\circ}$ rotation, for every fixed $x$; in other words, the graph $d\in a(x, e)$ is defined through $d-e=\varphi (x, d+e)$, where $\varphi$ is a Carathéodory contraction in $\mathbb{R}^{N}$. This definition is shown to be equivalent to the fact that $a(x, \cdot)$ is pointwise monotone and that, for any $g\in [L^{p'} (\Omega)]^{N}$ and any $\delta > 0$, the equation $d + \delta |e|^{p-2}e= g$ has a solution $(e, d)$ with $d\in a(x, e)$. Under additional coercivity and growth assumptions, the existence of solutions to $- \text{div}\, a(x, \text{grad}\, u)= f$ is then established.

Riassunto

Dimostriamo l'esistenza di soluzioni per l'equazione $-\text{div}\, a(x, \text{grad}\, u)=f$ con opportune condizioni al bordo, nel caso in cui $a(x, e)$ sia un grafico massimale monotono in $e$ per ogni $x$ fissato. Innanzitutto proponiamo un quadro adeguato per questo problema, in particolare per quel che concerne la misurabilità. Questo consiste nel considerare il grafico dopo una rotazione di $45^{\circ}$ per ogni $x$ fissato. In altre parole, il grafico $d\in a(x, e)$ è definito da $d-e=\varphi (x, d+e)$, dove $\varphi$ è una contrazione di Carathéodory in $\mathbb{R}^{N}$. Mostriamo che questa definizione è equivalente al fatto che $a(x, \cdot)$ è puntualmente monotono e che, per ogni $g\in [L^{p'} (\Omega)]^{N}$ ed ogni $\delta > 0$, l'equazione $d + \delta |e|^{p-2}e= g$ ha una soluzione $(e, d)$ con $d\in a(x, e)$. Si dimostra poi l'esistenza di soluzioni di $-\text{div}\, a(x, \text{grad}\, u)= f$ sotto ipotesi di crescita e coercitività.

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