Composition operators on Banach spaces of formal power series

Yousefi, B. ; Jahedi, S.

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 6B (2003) no. 2, pp. 481-487.

Abstract (VO)

Let $\{\beta (n)\}^{\infty}_{n=0}$ be a sequence of positive numbers and $1\leq p \infty$. We consider the space $H^{p}(\beta)$ of all power series $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \hat{f}(n)z^{n}$ such that $\sum_{n=0}^{\infty}|\hat{f}(n)|^{p}\beta(n)^{p}\infty $ . Suppose that $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ and $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{qj}}{\beta(n)^{q}}=\infty$ for some nonnegative integer $j$. We show that if $C_{\varphi}$ is compact on $H^{p}(\beta)$, then the non-tangential limit of $\varphi^{(j+1)}$ has modulus greater than one at each boundary point of the open unit disc. Also we show that if $C_{\varphi}$ is Fredholm on $H_{p}(\beta)$, then $\varphi$ must be an automorphism of the open unit disc.

Riassunto

Supponiamo che $\{\beta (n)\}^{\infty}_{n=0}$ sia una successione di numeri positivi e $1\leq p \infty$. Consideriamo lo spazio $H^{p}(\beta)$ di tutte le serie di potenze $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} \hat{f}(n)z^{n}$ tali che $\sum_{n=0}^{\infty} |\hat{f}(n)|^{p} \beta(n)^{p} \infty$. Supponiamo che $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ e $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{qj}}{\beta(n)^{q}} = \infty$ per un intero non-negativo $j$. Dimostriamo che se $C_{\varphi}$ è compatto su $H^{p}(\beta)$, allora il limite non-tangenziale di $\varphi^{(j+1)}$ ha modulo maggiore di uno, in ogni punto della frontiera del disco unitario aperto. Dimostriamo anche che se $C_{\varphi}$ è di Fredholm su $H_{p}(\beta)$, allora $\varphi$ deve essere un automorfismo del disco unitario aperto.

Bibliographie

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