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Partial Hölder continuity results for solutions of non linear non variational elliptic systems with limit controlled growth
Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 5B (2002) no. 3, pp. 747-754.

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Let $\Omega$ be a bounded open subset of $R^{n}$, $n > 4$, of class $C^{2}$ . Let $u\in H^{2}(\Omega)$ a solution of elliptic non linear non variational system $$a(x, u, Du, H(u) )=b(x, u, Du)$$ where $a(x, u, \mu, \xi)$ and $b(x, u, \mu)$ are vectors in $R^{N}$, $N\geq 1$, measurable in $x$, continuous in $(u, \mu, \xi)$ and $(u, \mu)$ respectively. Here, we demonstrate that if $b(x, u, \mu)$ has limit controlled growth, if $a(x, u, \mu, \xi)$ is of class $C^{1}$ in $\xi$ and satisfies the Campanato condition $(A)$ and, together with $\frac{\partial a}{\partial \xi}$, certain continuity assumptions, then the vector $Du$ is partially Hölder continuous for every exponent $\alpha 1-\frac{n}{p}$.
Sia $\Omega$ un aperto limitato di $R^{n}$, $n > 4$, di classe $C^{2}$. Sia $u\in H^{2}(\Omega)$ una soluzione del sistema ellittico non lineare non variazionale $$a(x, u, Du, H(u) )=b(x, u, Du)$$ dove $a(x, u, \mu, \xi)$ e $b(x, u, \mu)$ sono vettori in $R^{N}$, $N \geq 1$, misurabili in $x$, continui in $(u, \mu, \xi)$ e $(u, \mu)$ rispettivamente. Si dimostra che se $b(x, u, \mu)$ ha andamenti controllati limite, se $a(x, u, \mu, \xi)$ è di classe $C^{1}$ in $\xi$ e soddisfa la condizione $(A)$ di Campanato e, unitamente a $\frac{\partial a}{\partial \xi}$, alcune condizioni di continuità, allora il vettore $Du$ è parzialmente hölderiano per ogni esponente $\alpha 1-\frac{n}{p}$. 
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Fattorusso, Luisa; Idone, Giovanna. Partial Hölder continuity results for solutions of non linear non variational elliptic systems with limit controlled growth. Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 5B (2002) no. 3, pp. 747-754. http://geodesic.mathdoc.fr/item/BUMI_2002_8_5B_3_a10/

[1] L. Fattorusso-G. Idone, Partial Hölder continuity results for solutions of non linear non variational elliptic systems with strictly controlled growth, Rend. Sem. Mat. Padova, 103 (2000), 23-29. | fulltext mini-dml | MR | Zbl

[2] S. Campanato, $\mathcal{L}^{2, \lambda}$ theory for non linear non variational differential system, Rend. Matem. Serie VII, 10 Roma (1990), 531-549. | MR | Zbl

[3] S. Campanato, Sistemi ellittici in forma di divergenza: Regolarità all'interno. Quaderni scuola Normale Sup. Pisa, 1980. | MR | Zbl

[4] S. Campanato, Hölder continuity and partial Hölder continuity results for $H^{1, q}$ solution of non linear elliptic system with controlled growth, Rendiconti Sem. Mat. e Fis. Milano., Vol. LII (1982). | Zbl