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A unified convergence theory for $LR$ and $QR$ algorithms applied to symmetric eigenvalue problems
Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 5B (2002) no. 3, pp. 561-584.

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In this paper we consider the eigenvalue problem for positive definite symmetric matrices. Convergence properties for the zero shift $QR$ method and the shift $LR$ Cholesky method both in restoring and in non restoring version are deduced from the convergence properties of triangular matrices sequences. For general matrices we obtain some results on the convergence speed of the Cholesky method as a function of the chosen shift. These results follow from the absolute convergence of numerical series associated to matrices sequences. Concerning this theory we derive also convergence properties of the $QR$ method for the computation of the eigenvalues of normal matrices and of the $QR$ method for the computation of the singular values of complex matrices. For each method, together with the sequences of associated matrices, we consider a convergent sequence of diagonal matrices. Convergence properties of the methods follow since the matrices series defined by the differences of the terms of the two sequences are absolutely convergent.
In questo articolo si considera il problema degli autovalori matrici simmetriche definite positive. In particolare si deducono le proprietà di convergenza per il metodo $QR$ senza shift ed il metodo $LR$ di Cholesky sia in versione restoring che in versione non restoring, considerando le proprietà di convergenza di opportune successioni di matrici triangolari. Per generiche matrici si ottengono alcuni risultati circa la velocità di convergenza del metodo di Cholesky in funzione dello shift prescelto. Tali risultati seguono dall'assoluta convergenza di serie numeriche associate a successioni di matrici. Applicando tale teoria si ricavano proprietà di convergenza del metodo $QR$ per il calcolo degli autovalori di matrici normali e del metodo $QR$ per il calcolo dei valori singolari di matrici complesse. Per ogni metodo oltre alle successioni di matrici ad esso associate si considera una successione convergente di matrici diagonali. Le proprietà di convergenza dei metodi seguono poichè le serie di matrici definite dalla differenza dei termini delle due successioni sono assolutamente convergenti. 
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Peluso, R. I.; Piazza, G. A unified convergence theory for $LR$ and $QR$ algorithms applied to symmetric eigenvalue problems. Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 5B (2002) no. 3, pp. 561-584. http://geodesic.mathdoc.fr/item/BUMI_2002_8_5B_3_a0/

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