Calculating a determinant associated with multiplicative functions

Codecá, P. ; Nair, M.

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 5B (2002) no. 2, pp. 545-555.

Abstract (VO)

Let $h$ be a complex valued multiplicative function. For any $N\in \mathbb{N}$, we compute the value of the determinant $D_{N}:= \det _{i|N, j|N}\left(\frac{h((i,j))}{ij} \right)$ where $(i, j)$ denotes the greatest common divisor of $i$ and $j$, which appear in increasing order in rows and columns. Precisely we prove that $$D_{N}= \prod _{p^{l}\| N}\left(\frac{1}{p^{l(l+1)}}\prod_{i=1}^{l}(h(p^{i})-h(p^{i-1})) \right)^{\tau (N/p^{l})}.$$ This means that $D_{N}^{1/\tau(N)}$ is a multiplicative function of $N$. The algebraic apparatus associated with this result allows us to prove the following two results. The first one is the characterization of real multiplicative functions $f(n)$, with $0\leq f (p)1$, as minimal values of certain quadratic forms on the $\tau(N)$ unit sphere. The second one is the explicit evaluation of the minimal values of certain others quadratic forms also on the unit sphere.

Riassunto

Sia $h$ una funzione moltiplicativa a valori complessi. Per ogni $N\in \mathbb{N}$, calcoliamo il determinante $D_{N}:= \det_{i|N, j|N}\left(\frac{h((i,j))}{ij} \right)$, dove $(i ,j)$ indica il massimo comun divisore di $i$ e $j$, che figurano in ordine crescente in righe e colonne. Precisamente dimostriamo che $$D_{N}= \prod _{p^{l}\| N}\left(\frac{1}{p^{l(l+1)}}\prod_{i=1}^{l}(h(p^{i})-h(p^{i-1})) \right)^{\tau (N/p^{l})}.$$ Dunque $D_{N}^{1/\tau(N)}$ è effettivamente una funzione moltiplicativa di $N$ . L'apparato algebrico associato a questo risultato ci consente di dimostrarne altri due. Il primo è la caratterizzazione delle funzioni reali moltiplicative $f(n)$, con $0\leq f (p)1$, come valori minimi di certe forme quadratiche sulla sfera unità $\tau(N)$ dimensionale. Il secondo è la determinazione esplicita dei valori minimi di certe altre forme quadratiche su detta sfera.

Bibliographie

[1] R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, McGraw-Hill, New York (1970). | MR | Zbl

[2] P. Codecá-M. Nair, Extremal Values of $\Delta(x,N)= \sum_{\substack {n\leq xN \\ (n,N) = 1}}1-x\phi(N)$, Canad. Math. Bull. (3), 41 (1998), 335-347. | MR | Zbl

[3] P. De Bartolomeis, Algebra lineare, La Nuova Italia Editrice, Scandicci, Firenze 1993.

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