$L^p$-improving properties of measures supported on curves on the Heisenberg group. II

Secco, Silvia

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 5B (2002) no. 2, pp. 527-543.

Abstract (VO)

$L^{p}$-$L^{q}$ estimates are obtained for convolution operators by finite measures supported on curves in the Heisenberg group whose tangent vector at the origin is parallel to the centre of the group.

Riassunto

In questo lavoro riprendiamo la trattazione del cosiddetto fenomeno di $L^{p}$-improving per curve nel gruppo di Heisenberg iniziato nel precedente articolo [7]. Il problema riguarda lo studio delle proprietà di limitatezza $L^{p}$-$L^{q}$ per operatori di convoluzione con misure finite a supporto su curve nel gruppo di Heisenberg. Sia $\Gamma$ una curva $C^{\infty}$ regolare nel gruppo di Heisenberg $\mathbb{H}_{1}$ definita da $$ \Gamma \colon I \to \mathbb{H}_{1}\qquad s\mapsto \Gamma(s)=(\psi_{1}(s), \psi_{2}(s),\psi_{3}(s)) $$ dove $I$ è un intervallo limitato di $\mathbb{R}$ e $\psi_{1}(s)$, $\psi_{2}(s)$, $\psi_{3}(s)$ sono funzioni $C^{\infty}$ a valori reali. Definita la misura $$ \langle \mu, f \rangle= \int_{I}f(\Gamma(s)) \, ds \quad f\in C_{c}(\mathbb{H}_{1})$$ consideriamo il corrispondente operatore di convoluzione a destra con $\mu$$$Tf(w)= f * \mu(w)= \int_{I}f(w\cdot(\Gamma(s))^{-1})\,ds \quad w\in \mathbb{H}_{1}.$$ Nella prima parte di questo lavoro forniamo alcune limitazioni sull'insieme caratteristico $$\mathcal{T}=\left\{\left( \frac{1}{p},\frac{1}{q}\right)\in [0,1]\times [0,1] \,:\, T \text{ è limitato da } L^{p}(\mathbb{H}_{1}) \text{ a } L^{q}(\mathbb{H}_{1}) \right\} $$ dell'operatore $T$, precisamente proviamo che l'insieme $\mathcal{T}$ è contenuto nel trapezio chiuso di vertici $$A=(0,0), \quad B=(1,1), \quad C= (2/3, 1/2), \quad D=(1/2, 1/3).$$ Nella seconda parte di questo lavoro focalizziamo invece l'attenzione su curve nel gruppo di Heisenberg $\mathbb{H}_{1}$ aventi vettore tangente nell'origine parallelo al centro del gruppo. Più precisamente, consideriamo una curva $\gamma(s)$ data da \begin{equation}\label{1}\tag{1} \gamma \colon I \to \mathbb{H}_{1} \qquad s\mapsto \gamma(s)=(s^{m},s^{n},s) \end{equation} dove $I=[0,R]$, $R>0$, e $m$, $n$ sono numeri reali distinti maggiori di uno. Proviamo che l'insieme caratteristico dell'operatore $U$ definito dalla formula $$Uf(w)=\int_{I} f(w\cdot(\Gamma(s))^{-1}) \quad w \in \mathbb{H}_{1}$$ è contenuto nel trapezio chiuso di vertici $A=(0,0), B=(1,1), P_{1}=\left(\frac{m+n-1}{m+n+1},\frac{m+n-2}{m+n+1} \right), P_{2}=\left(\frac{3}{m+n+1},\frac{2}{m+n+1} \right) $ con la sola possibile eccezione del segmento chiuso congiungente i due punti $P_{1}$ e $P_{2}$ se $m+n\geq 5$, ed è l'intero trapezio chiuso $ABCD$ se $m+n5$. I risultati ottenuti per l'operatore $U$ rimangono validi sostituendo la curva (1) con una più generale curva $\Gamma(s)=(s^{m}+o(s^{m}), s^{n}+ o(s^{n}), s)$, per $s$ in un intorno dell'origine.

Bibliographie

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