Stationary states for a two-dimensional singular Schrödinger equation

Caldiroli, Paolo ; Musina, Roberta

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 4B (2001) no. 3, pp. 609-633

Résumé

In questo articolo studiamo problemi di Dirichlet singolari, lineari e semilineari, della forma $|x|^{2}\Delta u=f(u)$ in $\Omega$, $u=0$ su $\partial\Omega$, dove $\Omega$ è un dominio in $\mathbb{R}^{2}$ e $f(u)=\lambda u$ o $f (u)=\lambda u + |u|^{p-2} u$ con $p>2$ (o nonlinearità più generali). In tali problemi bidimensionali emergono alcune difficoltà a causa della non validità della disuguaglianza di Hardy in $\mathbb{R}^{2}$ e a causa delle invarianze dell'equazione $-|x|^{2}\Delta u=f(u)$. Pertanto opportune condizioni su $\lambda$ e $\Omega$ sono necessarie al fine di garantire l'esistenza di una soluzione positiva. Per esempio, se $\Gamma_{0}$ è una curva non costante passante per l'origine e $\Gamma_{\infty}$ è una curva non limitata, allora la disuguaglianza di Hardy vale su qualunque dominio $\Omega$ contenuto in $\mathbb{R}^{2}\setminus(\Gamma_{0}\cup \Gamma_{\infty})$ e si possono ottenere alcuni risultati di esistenza.