Homogenization of some nonlinear problems with specific dependence upon coordinates

Courilleau, P. ; Fabre, S. ; Mossino, J.

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 4B (2001) no. 3, pp. 711-729

Résumé

Questo articolo considera una successione di equazioni differenziali a derivate parziali non lineari in forma di divergenza del tipo $$ -\text{div} (Q^{\epsilon} G(x, N^{\epsilon} \nabla u) )=f^{\epsilon},$$ in un dominio limitato $\Omega$ dello spazio $n$-dimensionale; $Q^{\epsilon}= Q^{\epsilon}(x)$ e $N^{\epsilon}=N^{\epsilon}(x)$ sono matrici con coefficenti limitati, $N^{\epsilon}$ e è invertibile e la sua matrice inversa $R^{\epsilon}$ ha anche coefficenti limitati. La non linearità è dovuta alla funzione $G=G(x,\xi)$; la condizione di crescita, la monotonicità e le ipotesi di coercitività sono modellate sul $p$-Laplaciano, $1 p \infty$, ed assicurano l'esistenza di una soluzione $u^{\epsilon}\in W^{1,p}_{0}(\Omega)$ di ciascuna equazione, per ogni fissata $f^{\epsilon}\in W^{-1,p'}(\Omega)$. Si ipotizza una dipendenza specifica della matrice dei coefficenti dalle coordinate: $Q^{\epsilon}(x)=(q^{\epsilon}_{i,j} (x'_{i}))$ e $R^{\epsilon}(x)=(r^{\epsilon}_{i,j}(x_{i}))$, dove il punto arbitrario di $\Omega$ è denominato $x=(x_{i}, x'_{i})$, con $x_{i}$ reale e $x'_{i}$ nello spazio $(n-1)$-dimensionale. Essenzialmente il risultato principale è il seguente. Supponiamo la seguente convergenza: per i coefficenti, $Q^{\epsilon} \rightharpoonup Q$, $R^{\epsilon}\rightharpoonup R$, rispetto alla topologia debole $*$; per i termini di sorgente, $f^{\epsilon}\rightarrow f$, rispetto alla topologia forte di $W^{-1,p'}_{0}(\Omega)$; e per le soluzioni $u^{\epsilon}\rightharpoonup u$, rispetto alla topologia debole di $W^{1,p}_{0}(\Omega)$; allora $u$ è soluzione dell'equazione limite $$ -\text{div} (Q G(x, N \nabla u) )=f.$$ Si dimostra anche un risultato di tipo correttore e vengono date applicazioni del risultato ottenuto.