Blow-up and global existence of a weak solution for a sine-Gordon type quasilinear wave equation

Dias, João-Paulo ; Figueira, Mário

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 3B (2000) no. 3, pp. 739-750

Résumé

Si considera il problema di Cauchy per l'equazione (cf. [1]): $$\phi_{tt}-\phi_{xx}-\phi^{2}_{x}\phi_{xx}+\sin\phi=0 \qquad (x, t)\in\mathbb{R}\times \mathbb{R}_{+}.$$ Nella prima parte di questo articolo si dimostra, per dati iniziali particolari, un risultato di «blow-up» della soluzione classica locale (in tempo), seguendo le idee introdotte in [8], [2] ed [4]. Nella seconda parte, viene utilizzato il metodo di compattezza per compensazione (cf. [13], [10] ed [5]) ed una estensione del principio delle regioni invarianti (cf. [12]) per dimostrare l'esistenza di una soluzione debole globale entropica.