Pseudo-valuation rings. II

Anderson, David F. ; Badawi, Ayman ; Dobbs, David E.

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 3B (2000) no. 2, pp. 535-545

Résumé

Viene data una condizione sufficiente affinchè un sopra-anello di un anello di pseudo-valutazione (PVR) sia ancora un PVR. Da ciò segue che se $(R, M)$ è un PVR, allora ogni sopra-anello di $R$ è un PVR se (e soltanto se) $R[u]$ è quasi-locale per ciascun elemento $u$ di $(M:M)$. Vari risultati sono dimostrati per un ideale primo di un anello commutativo arbitrario $R$, avente $Z(R)$ come insieme di zero-divisori. Per esempio, se $P$ è un primo «forte» di $R$ e contiene un elemento non-zero divisore di $R$, allora $(P:P)$ è un sopra-anello di $R$ con l'insieme degli ideali totalmente ordinato e con ideale massimale $P$; inoltre, $(P: P)$ è un PVR il cui ideale massimale è un ideale primo anche in $R$ se e soltanto se $P$ e $Z(R)$ sono entrambi ideali primi «forti» di $R$. Se $(R, M)$ è un PVR, viene dimostrato anche che $Z(R)$ può coincidere con $\text{nil}(R)$ oppure con un ideale primo propriamente contenuto tra questi due ideali.