Interior regularity for weak solutions of ultraparabolic equations in divergence form with discontinuous coefficients

Manfredini, Maria ; Polidoro, Sergio

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 1B (1998) no. 3, pp. 651-675

Résumé

Abbiamo considerato il problema della regolarità interna delle soluzioni deboli della seguente equazione differenziale $$ \sum_{i,j=1}^{m_{0}} \partial_{x_{i}}(a_{i,j}(x,t)\partial_{x_{j}}u) + \sum_{i,j=1}^{N}b_{i,j}x_{i}\partial_{x_{j}}u-\partial_{t}u = \sum_{j=1}^{m_{0}}\partial_{x_{j}}F_{j}(x,t), $$ dove $(x,t)\in\mathbb{R}^{N+1}$, $0 m_{0}\leq N$ ed $F_{j}\in L^{p}_{\text{loc}}(\mathbb{R}^{N+1})$ per $j=1,\ldots, m_{0}$. I nostri principali risultati sono una stima a priori interna del tipo $$ \sum_{j=1}^{m_{0}} \| \partial_{x_{j}}u \|_{p} \leq c\Bigl(\sum_{j=1}^{m_{0}} \| F_{j} \|_{p} + \| u \|_{p} \Bigr), $$ e la regolarità hölderiana di $u$. La stima a priori delle derivate viene ottenuta utilizzando una tecnica analoga a quella introdotta da Chiarenza, Frasca e Longo in [3], per gli operatori ellittici in forma di non divergenza, supponendo che i coefficienti $a_{i,j}$ verifichino una condizione di «debole» continuità. Il risultato di hölderianità è conseguenza delle suddette stime e di una formula di rappresentazione basata sulla espressione esplicita della soluzione fondamentale dell'operatore «congelato».