The $C^{*}$-algebra of a Hilbert bimodule

Doplicher, Sergio ; Pinzari, Claudia ; Zuccante, Rita

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 8, 1B (1998) no. 2, pp. 263-282

Résumé

Un $C^{*}$-modulo hilbertiano destro $X$ su una $C^{*}$-algebra $\mathcal{A}$ dotato di uno ${}^{*}$-omomorfismo isometrico $\phi: \mathcal{A} \to \mathcal{L}_{\mathcal{A}}(X)$ viene qui considerato come un oggetto $X_{\mathcal{A}}$ della $C^{*}$-categoria degli $\mathcal{A}$-moduli Hilbertiani destri. Come in [11], associamo ad esso una $C^{*}$-algebra $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ contenente $X$ come un «$\mathcal{A}$-bimodulo hilbertiano in $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$». Se $X$ è pieno e proiettivo finito $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ è la $C^{*}$-algebra $C^{*}(X)$, la generalizzazione delle algebre di Cuntz-Krieger introdotta da Pimsner [27] (e in un caso particolare da Katayama [31]). Più in generale, $C^{*}(X)$ è canonicamente immersa in $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ come la $C^{*}$-sottoalgebra generata da $X$. Reciprocamente, se $X$ è pieno $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ è canonicamente immersa in $C^{*}(X)^{**}$. Inoltre, considerando $X$ come un oggetto ${}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}$ della $C^{*}$-categoria degli $\mathcal{A}$-bimoduli hilbertiani, associamo ad esso una $C^{*}$-sottoalgebra $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ di $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ che commuta con $\mathcal{A}$, su cui $X$ induce un endomorfismo canonico $\varrho$. Discutiamo condizioni sotto le quali $\mathcal{A}$ ed $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$ sono l'uno il commutante relativo dell'altro ed $X$ è precisamente il sottospazio degli operatori di allacciamento in $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$ tra l'identità e $\varrho$ su $\mathcal{O}_{{}_{\mathcal{A}}X_{\mathcal{A}}}$. Discutiamo anche condizioni che implicano la semplicità di $C^{*}(X)$ o di $\mathcal{O}_{X_{\mathcal{A}}}$; in particolare, se $X$ è proiettivo finito e pieno, $C^{*}(X)$ è semplice se $\mathcal{A}$ è $X$-semplice e lo «spettro di Connes» di $X$ è $\mathbb{T}$.