Su qualche trasformazione di serie

Broggi, Ugo

Bollettino della Unione matematica italiana, Série 1, Tome 13 (1934) no. 2, pp. 84-89

Résumé

L'A. si vale dell’identità $a_{n} = \sum_{h = 0}^{n} \binom{n}{h} \Delta^{h} a_{0}$ per sommare la serie $\sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{h = 0}^{n} F_{s}(h) x^{n-h} \right)_{n!}^{t^{n}}$ dove $p(n) = \Delta^{n} F_{0}(n)$, $F_{s-1}(n) = \Delta^{n} F_{s}(n)$ e $p(x)$ \`e un polinomio in $x$. Si vale deil'identità, ricordata e dell’altra $a_{n} = \sum_{h = 0}^{n} \binom{n}{h} u^{n-h} T^{h} a_{0}$ dove $T^{0}a_{n} = a_{n}$. $T^{h} a_{n+1} - u T^{h}a_{n} = T^{h+1} a_{n}$, per formare la trasformata di Eulero e la trasformata di Eulero di ordine $n \geq 0$ di una serie di termini costanti, della prima delle due identità per trasformare una serie di potenze in serie di Newton. Estende ad $n$ positivo qualunque una dimostrazione, data da K. Knopp per $n = 1$, del teorema che la trasformata di Eulero di ordine $n$ di una serie convergente, converge con ugual somma.