Geodesic
Norm-inflation with Infinite Loss of Regularity for Periodic NLS Equations in Negative Sobolev Spaces
[Croissance de norme avec perte infinie de régularité pour les équations de Schrödinger périodiques en régularité négative]
Carles, Rémi1 ; Kappeler, Thomas2
1 Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck CNRS Univ. Montpellier
2 Institut für Mathematik Universität Zürich Winterthurerstr. 190 CH-8057 Zürich
Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 145 (2017) no. 4, pp. 623-642

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In this paper we consider Schrödinger equations with nonlinearities of odd order 2σ+1 on 𝕋d. We prove that for σd≥2, they are strongly illposed in the Sobolev space Hs for any s<0, exhibiting norm-inflation with infinite loss of regularity. In the case of the one-dimensional cubic nonlinear Schrödinger equation and its renormalized version we prove such a result for Hs with s<-2/3.

Nous considérons des équations de Schrödinger avec des non-linéarités d’ordre impair 2σ+1 sur le tore 𝕋d. Nous montrons que pour σd≥2, ces équations sont fortement mal posées dans l’espace de Sobolev Hs pour tout s<0, avec en outre un phénomène de perte infinie de régularité. Dans le cas cubique mono-dimensionnel et sa version renormalisée, nous montrons le même résultat dans Hs, sous l’hypothèse s<-2/3.

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DOI : 10.24033/bsmf.2749
Classification : 35Q55, 35A01, 35B30, 81Q20
Keywords: Nonlinear Schrödinger equation, periodic case, well-posedness, loss of regularity, geometric optics, semi-classical analysis
Mots-clés : Équation de Schrödinger non linéaire, cas périodique, caractère bien posé, perte de régularité, optique géométrique, analyse semi-classique

Carles, Rémi 1 ; Kappeler, Thomas 2

1 Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck CNRS Univ. Montpellier
2 Institut für Mathematik Universität Zürich Winterthurerstr. 190 CH-8057 Zürich 
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JO  - Bulletin de la Société Mathématique de France
PY  - 2017
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