Lifting $D$-modules from positive to zero characteristic

[Relèvement de $D$-modules de caractéristique positive en caractéristique nulle]

dos Santos, João Pedro P.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 139 (2011) no. 2, pp. 193-242

Abstract (VO)

We study liftings or deformations of $D$-modules ($D$ is the ring of differential operators from EGA IV) from positive characteristic to characteristic zero using ideas of Matzat and Berthelot’s theory of arithmetic $D$-modules. We pay special attention to the growth of the differential Galois group of the liftings. We also apply formal deformation theory (following Schlessinger and Mazur) to analyze the space of all liftings of a given $D$-module in positive characteristic. At the end we compare the problems of deforming a $D$-module with the problem of deforming a representation of a naturally associated group scheme.

Résumé

Nous étudions des relèvements des $D$-modules ($D$ est l’anneau des opérateurs différentiels de EGA IV) de la caractéristique positive en caractéristique nulle en utilisant des idées de Matzat et la théorie de descente par Frobenius (pour les $D$-modules arithmétiques) de Berthelot. Nous prêtons une attention particulière à la croissance du groupe de Galois différentiel du relèvement. Nous appliquons aussi la théorie locale des déformations (d’après Schlessinger et Mazur) pour analyser l’espace local de modules des relèvements. À la fin, nous comparons la théorie des déformations (locales) d’un $D$-module avec la théorie des déformations (locales) d’une représentation d’un schéma en groupes naturellement associé.

Détail

DOI : 10.24033/bsmf.2606

Classification : 13N10, 12H05, 12H25, 14B12, 13D10, 14L15, 18B99
Keywords: $D$-modules, differential Galois theory, group schemes in mixed characteristic, monoidal categories, deformation theory
Mots-clés : $D$-modules, théorie de Galois différentielle, schémas de groupe en caractéristique mixte, catégories monoïdales, théorie de la déformation