The fundamental theorem of prehomogeneous vector spaces modulo $p^m$ (With an appendix by F. Sato)

[Théorème fondamental des espaces vectoriels préhomogènes modulo $p^m$. Avec un appendice par F. Sato]

Cluckers, Raf  ; Herremans, Adriaan

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 135 (2007) no. 4, pp. 475-494

Abstract (VO)

For a number field $K$ with ring of integers ${𝒪}_K$, we prove an analogue over finite rings of the form ${𝒪}_K/{𝒫}^m$ of the fundamental theorem on the Fourier transform of a relative invariant of prehomogeneous vector spaces, where $𝒫$ is a big enough prime ideal of ${𝒪}_K$ and $m>1$. In the appendix, F.Sato gives an application of the Theorems 1.1, 1.3 and the Theorems A, B, C in J.Denef and A.Gyoja [Character sums associated to prehomogeneous vector spaces, Compos. Math., 113 (1998), 237-346] to the functional equation of $L$-functions of Dirichlet type associated with prehomogeneous vector spaces.

Résumé

Soit $K$ un corps de nombres avec anneaux d’entiers ${𝒪}_K$ ; nous prouvons un analogue, sur des anneaux finis de la forme ${𝒪}_K/{𝒫}^m$, du théorème fondamental sur la transformation de Fourier de l’invariante relative d’un espace vectoriel préhomogène. Ici, $𝒫$ est un idéal premier assez grand de ${𝒪}_K$ et $m>1$. Dans l’appendice, F. Sato donne une application des théorèmes 1.1, 1.3 et des théorèmes A, B, C de J.Denef et A.Gyoja [Character sums associated to prehomogeneous vector spaces, Compos. Math., 113 (1998), 237-346] à l’équation fonctionelle de $L$-fonctions de type Dirichlet associées aux espaces vectorielles préhomogènes.

Détail

DOI : 10.24033/bsmf.2543

Classification : 11S90, 11L07, 11M41, 11T24, 11L05, 20G40
Keywords: prehomogeneous vector spaces, $L$-functions, Bernstein-Sato polynomial, fundamental theorem of prehomogeneous vector spaces, exponential sums
Mots-clés : espaces vectorielles préhomogènes, $L$-fonctions, polynôme de Bernstein-Sato, théorème fondamental des espaces vectorielles préhomogènes, sommes exponentielles