Cutting the loss of derivatives for solvability under condition $\left(\Psi \right)$

[Diminution de la perte de dérivées pour la résolubilité sous la condition $\left(\Psi \right)$]

Lerner, Nicolas

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 134 (2006) no. 4, pp. 559-631

Abstract (VO)

For a principal type pseudodifferential operator, we prove that condition $\left(\psi \right)$ implies local solvability with a loss of 3/2 derivatives. We use many elements of Dencker’s paper on the proof of the Nirenberg-Treves conjecture and we provide some improvements of the key energy estimates which allows us to cut the loss of derivatives from $ϵ+3/2$ for any $ϵ>0$ (Dencker’s most recent result) to 3/2 (the present paper). It is already known that condition $\left(\psi \right)$ does not imply local solvability with a loss of 1 derivative, so we have to content ourselves with a loss $>1$.

Résumé

Pour un opérateur de type principal, nous démontrons que la condition ($\Psi$) implique la résolubilité locale avec perte de 3/2 dérivées. Nous utilisons beaucoup d’éléments de la démonstration par Dencker de la conjecture de Nirenberg-Treves et nous limitons la perte de dérivées à 3/2, améliorant le résultat le plus récent de Dencker (perte de $ϵ+3/2$ dérivées pour tout $ϵ>0$). La condition ($\Psi$) n’impliquant pas la résolubilité locale avec perte d’une dérivée, nous devons nous contenter d’une perte $>1$.

Détail

DOI : 10.24033/bsmf.2522

Classification : 35S05, 47G30
Keywords: solvability, a priori estimates, pseudodifferential operators
Mots-clés : résolubilité, estimations a priori, op´erateurs pseudodifférentiels