Sommes de carrés de fonctions dérivables

Bony, Jean-Michel

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 133 (2005) no. 4, pp. 619-639

Résumé (VO)

On montre que toute fonction positive de classe $C^{2m}$ définie sur un intervalle de $ℝ$ est somme de deux carrés de fonctions de classe $C^m$. En dimension 2, toute fonction positive $f$ de classe $C^4$ est somme d’un nombre fini de carrés de fonctions de classe $C^2$, pourvu que ses dérivées d’ordre 4 s’annulent aux points où $f$ et ${\nabla }^{2}f$ s’annulent.

Abstract

We prove that any nonnegative function of class $C^{2m}$ defined in an interval is the sum of two squares of functions of class $C^m$. In dimension 2, any nonnegative function $f$ of class $C^4$ is a finite sum of squares of functions of class $C^2$, provided that ${\nabla }^{4}f$ vanishes at points $x$ satisfying $f\left(x\right)={\nabla }^{2}f\left(x\right)=0$.

Détail

DOI : 10.24033/bsmf.2499

Classification : 26A24, 26B05
Mots-clés : fonctions positives, fonctions différentiables, sommes de carrés
Keywords: nonnegative functions, differentiable functions, sums of square