Properties of Wiener-Wintner dynamical systems

[Propriétés des systèmes dynamiques de Wiener-Wintner]

Assani, I.  ; Nicolaou, K.

Bulletin de la Société Mathématique de France, Tome 129 (2001) no. 3, pp. 361-377

Abstract (VO)

In this paper we prove the following results. First, we show the existence of Wiener-Wintner dynamical system with continuous singular spectrum in the orthocomplement of their respective Kronecker factors. The second result states that if $f\in L^p$, $p$ large enough, is a Wiener-Wintner function then, for all $\gamma \in (1+\frac{1}{2p}-\frac{\beta }{2},1]$, there exists a set $X_f$ of full measure for which the series ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{f\left(T^{n}x\right)e^{2\pi inϵ}}{n^{\gamma }}$ converges uniformly with respect to $ϵ$.

Résumé

Dans cette note nous démontrons les résultats suivants. Tout d’abord nous montrons l’existence de systèmes dynamiques ergodiques du type Wiener Wintner ayant un spectre singulier continu dans l’orthogonal de leur facteurs de Kronecker.Ensuite nous montrons que si $f\in L^p$ est une fonction du type Wiener-Wintner alors, pour $\gamma \in (1+\frac{1}{2p}-\frac{\beta }{2},1]$ on peut trouver un ensemble $X_f$ de mesure pleine pour lequel la série ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{f\left(T^{n}x\right)e^{2\pi inϵ}}{n^{\gamma }}$ converge uniformément en $ϵ$.

Détail

DOI : 10.24033/bsmf.2402

Classification : 28D05, 11K38
Keywords: Wiener Wintner dynamical systems, Wiener Wintner functions, Kronecker factor
Mots-clés : systèmes dynamiques de Wiener-Wintner, fonctions de Wiener-Wintner, facteur de Kronecker