On sublinear bilipschitz equivalence of groups

[Sur les équivalences sous-linéairement bilipschitziennes des groupes]

de Cornulier, Yves

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 52 (2019) no. 5, pp. 1201-1242

Abstract (VO)

We discuss the notion of sublinearly bilipschitz equivalences (SBE), which generalize quasi-isometries, allowing some additional terms that behave sublinearly with respect to the distance from the origin. Such maps were originally motivated by the fact they induce bilipschitz homeomorphisms between asymptotic cones. We prove here that for hyperbolic groups, they also induce Hölder homeomorphisms between the boundaries. This yields many basic examples of hyperbolic groups that are pairwise non-SBE. Besides, we check that subexponential growth is an SBE-invariant.

The central part of the paper addresses nilpotent groups. While classification up to sublinearly bilipschitz equivalence is known in this case as a consequence of Pansu's theorems, its quantitative version is not. We introduce a computable algebraic invariant e=eG<1 for every such group G, and check that G is O(re)-bilipschitz equivalent to its associated Carnot group. Here r↦re is a quantitive sublinear bound.

Finally, we define the notion of large-scale contractable and large-scale homothetic metric spaces. We check that these notions imply polynomial growth under general hypotheses, and formulate conjectures about groups with these properties.

Résumé

On étudie les équivalences sous-linéairement bilipschitziennes (SBE), qui généralisent les quasi-isométries, en autorisant un terme d'erreur sous-linéaire par rapport à la distance à l'origine. L'introduction de telles applications a été initialement motivée par le fait qu'elles induisent des homéomorphismes bilipschitziens au niveau des cônes asymptotiques. On démontre ici que pour les groupes hyperboliques, elles induisent également des homéomorphismes hölderiens entre leurs bords de Gromov. Ceci permet d'obtenir de nombreux exemples de groupes hyperboliques qui ne sont pas SBE entre eux. En outre, on vérifie qu'être à croissance sous-exponentielle est invariant par SBE.

La partie centrale de l'article concerne les groupes nilpotents. Leur classification à SBE près se déduit des travaux de Pansu des années 80, mais la version quantitative reste à étudier. On introduit un invariant algébrique calculable e=eG<1 pour les groupes nilpotents G et on vérifie que G est toujours O(re)-SBE à son groupe Carnot-gradué associé: la fonction r↦re est une borne sous-linéaire quantitative.

Enfin, on introduit les notions d'espaces métriques contractables à grande échelle, et homothétique à grande échelle. On vérifie, sous des hypothèses très générales, qu'elles impliquent être à croissance polynomiale, et on formule des conjectures sur les groupes ayant ces propriétés.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2407

Classification : 17B30; 17B70, 20F18, 20F67, 20F69, 22E25, 22E40