Exceptional times for percolation under exclusion dynamics

[Temps exceptionnels pour la percolation dynamique sous exclusion]

Garban, Christophe ; Vanneuville, Hugo

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 52 (2019) no. 1, pp. 1-57

Abstract (VO)

We analyze in this paper a conservative analog of the celebrated model of dynamical percolation introduced by Häggström, Peres and Steif in [10]. It is simply defined as follows: start with an initial percolation configuration ω(t=0). Let this configuration evolve in time according to a simple exclusion process with symmetric kernel K(x,y). We start with a general investigation (following [10]) of this dynamical process t↦ωK(t) which we call K-exclusion dynamical percolation. We then proceed with a detailed analysis of the planar case at the critical point (both for the triangular grid and the square lattice ℤ2) where we consider the power-law kernels Kα

Kα(x,y)∝1∥x-y∥22+α.

We prove that if α>0 is chosen small enough, there exist exceptional times t for which an infinite cluster appears in ωKα(t). (On the triangular grid, we prove that this holds for all α<α0=217816.) The existence of such exceptional times for standard i.i.d. dynamical percolation (where sites evolve according to independent Poisson point processes) goes back to the work by Schramm-Steif in [25]. In order to handle such a K-exclusion dynamics, we push further the spectral analysis of exclusion noise sensitivity which has been initiated in [3]. (The latter paper can be viewed as a conservative analog of the seminal paper by Benjamini-Kalai-Schramm [1] on i.i.d. noise sensitivity.) The case of a nearest-neighbor simple exclusion process, corresponding to the limiting case α=+∞, is left widely open.

Résumé

Cet article porte sur une version conservative du modèle de la percolation dynamique introduit par Häggström, Peres et Steif dans [10]. Le modèle se définit simplement de la façon suivante : on tire une configuration de percolation initiale ω(t=0). Puis, on fait évoluer cette configuration selon un processus d'exclusion simple de noyau symétrique K(x,y). On commence par une étude générale (en suivant [10]) du processus t↦ωK(t) que l'on appelle percolation dynamique sous K-exclusion. Nous analysons ensuite de façon détaillée le cas bi-dimensionnel au point critique (à la fois pour le réseau triangulaire et pour le réseau ℤ2) pour des noyaux en loi de puissance Kα

Kα(x,y)∝1∥x-y∥22+α.

Nous montrons que si l'exposant α>0 est suffisamment petit, il existe des temps exceptionnels t pour lesquels une composante connexe infinie se forme dans ωKα(t). (Pour la percolation par site sur réseau triangulaire, on montre que cela se produit pour tout α<α0=217816). L'existence de tels temps exceptionnels pour la percolation dynamique standard i.i.d. (où les sites évoluent selon des processus de Poisson indépendants) remonte au travail de Schramm-Steif [25]. Afin de contrôler la dynamique ci-dessus du type K-exclusion, on approfondit l'analyse spectrale de la sensibilité au bruit sous exclusion initiée dans le travail [3]. (Travail qui est en quelque sorte l'analogue conservatif du papier précurseur par Benjamini-Kalai-Schramm [1] sur la sensibilité au bruit i.i.d.). Le cas du processus d'exclusion simple au plus proche voisin, correspondant au cas limite α=+∞, reste entièrement ouvert.

Détail

Publié le : 2019-09-05
DOI : 10.24033/asens.2383

Classification : 82C43, 60K35, 42B05.
Keywords: Percolation, dynamical percolation, simple exclusion process, exceptional times, noise sensitivity, Fourier analysis of Boolean functions.
Mots-clés : Percolation, percolation dynamique, processus d'exclusion simple, temps exceptionnels, sensibilité au bruit, analyse de Fourier des fonctions Booléennes.