Groups with no parametric Galois realizations

[Groupes sans réalisations galoisiennes paramétriques]

Dèbes, Pierre

Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 51 (2018) no. 1, pp. 143-179

Abstract (VO)

We disprove a strong form of the Regular Inverse Galois Problem: there exist finite groups G which do not have a ℚ(U)-parametric extension, i.e., a regular realization F/ℚ(T) that induces all Galois extensions L/ℚ(U) of group G by specializing T to f(U)∈ℚ(U). A much weaker Lifting Property is even disproved for these groups: two realizations L/ℚ(U) exist that cannot be induced by realizations with the same ramification type. Our examples of such groups G include symmetric groups Sn, n≥6, infinitely many PSL 2(𝔽p), the Monster.

Two variants of the question with ℚ(U) replaced by ℂ(U) and ℚ are answered similarly, the second one under a diophantine “working hypothesis” going back to a problem of Fried-Schinzel.

We introduce two new tools: a comparison theorem between the invariants of an extension F/ℂ(T) and those obtained by specializing T to f(U)∈ℂ(U); and, given two regular Galois extensions of k(T), a finite set of k(U)-curves that say whether these extensions have a common specialization E/k.

Résumé

Nous réfutons une forme forte du problème inverse de Galois régulier: il existe des groupes finis G qui n'ont pas de réalisation régulière F/ℚ(T) induisant toutes les extensions galoisiennes L/ℚ(U) de groupe G par spécialisation de T en f(U)∈ℚ(U). Une propriété de relèvement bien plus faible est même infirmée pour ces groupes: deux réalisations L/ℚ(U) existent qui ne peuvent être induites par des réalisations ayant le même type de ramification. Nos exemples de tels groupes G incluent les groupes symétriques Sn, n≥6, une infinité de PSL 2(𝔽p), le Monstre.

Deux variantes de la question, où ℚ(U) est remplacé par ℂ(U) et ℚ, ont une réponse similaire, la seconde sous une « hypothèse de travail » liée à un problème de Fried-Schinzel.

Nous introduisons deux nouveaux outils: un théorème de comparaison entre les invariants d'une extension F/ℂ(T) et ceux de celle obtenue en spécialisant T en f(U)∈ℂ(U); et, étant données deux extensions régulières galoisiennes de k(T), un ensemble fini de k(U)-courbes qui disent si ces extensions ont une spécialisation commune E/k.

Détail

DOI : 10.24033/asens.2353

Classification : 12F12, 11R58, 14E20; 14E22, 12E30, 11Gxx.
Keywords: Galois extensions, inverse Galois theory, specialization, parametric extensions, twisting.
Mots-clés : Extensions galoisiennes, théorie inverse de Galois, spécialisation, extensions paramétriques, twisting.